Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}}{h}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{{(x + h)}^{2} - 6}{3 {(x + h)}^{2}}$ par $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{x^{2} - 6}{3 x^{3}}$ par $\frac{{(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 {(x + h)}^{2} x^{3}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $3 {(x + h)}^{2} x^{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} - \frac{(x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}}{h}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2}}$ par $\frac{1}{h}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{({(x + h)}^{2} - 6) x^{3} - (x^{2} - 6) {(x + h)}^{2}}{3 x^{3} {(x + h)}^{2} h}$

Étape 3

Since the numerator is negative and the denominator $3 x^{3} {(x + h)}^{2} h$ approaches zero and is less than zero for $x$ near $0$ on both sides, the function increases without bound.

$\infty$