Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{17 x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 1

Placez le terme $17$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$17 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$17 \frac{0}{lim_{x \to 0} \ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$17 \frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.2

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - 2 x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({({(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 lim_{x \to 0} x + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0^{2} - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.8.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 - 2 \cdot 0 + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.8.1.2

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 0 + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.8.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$17 \frac{0}{\ln ({(0 + 1)}^{3})}$

Étape 2.1.3.8.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$17 \frac{0}{\ln (1^{3})}$

Étape 2.1.3.8.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$17 \frac{0}{\ln (1)}$

Étape 2.1.3.8.5

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$17 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.8.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$17 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$17 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$17 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$17 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\ln ({(x^{2} - 2 x + 1)}^{3})]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = x^{2} - 2 x + 1$ .

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Étape 2.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{2} - 2 x + 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \cdot 3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.5

Associez $3$ et $\frac{1}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.6

Associez ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ et $\frac{3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.7

Déplacez $3$ à gauche de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3 \cdot {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.8

Annulez le facteur commun à ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ et ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

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Étape 2.3.8.1

Factorisez ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ à partir de $3 {(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.8.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.8.2.1

Factorisez ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{2}$ à partir de ${(x^{2} - 2 x + 1)}^{3}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.8.2.2

Annulez le facteur commun.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} \cdot 3}{{(x^{2} - 2 x + 1)}^{2} (x^{2} - 2 x + 1)} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.8.2.3

Réécrivez l’expression.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 1]}$

Étape 2.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.11

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.13

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 2.3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2 + 0)}$

Étape 2.3.15

Additionnez $2 x - 2$ et $0$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)}$

Étape 2.3.16

Simplifiez

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Étape 2.3.16.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{3}{x^{2} - 2 x + 1} (2 x - 2)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1}}$

Étape 2.3.16.2

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 2.3.16.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 x + 1^{2}}}$

Étape 2.3.16.2.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Étape 2.3.16.2.3

Réécrivez le polynôme.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2}}}$

Étape 2.3.16.2.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , où $a = x$ et $b = 1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{(2 x - 2) \frac{3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.3

Multipliez $2 x - 2$ par $\frac{3}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 x - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.16.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x - 2$ .

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Étape 2.3.16.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) - 2) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(2 (x) + 2 (- 1)) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (- 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{2 (x - 1) \cdot 3}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6 (x - 1)}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.5

Annulez le facteur commun à $x - 1$ et ${(x - 1)}^{2}$ .

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Étape 2.3.16.5.1

Factorisez $x - 1$ à partir de $6 (x - 1)$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{{(x - 1)}^{2}}}$

Étape 2.3.16.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.16.5.2.1

Factorisez $x - 1$ à partir de ${(x - 1)}^{2}$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Étape 2.3.16.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{(x - 1) \cdot 6}{(x - 1) (x - 1)}}$

Étape 2.3.16.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$17 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{6}{x - 1}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$17 lim_{x \to 0} 1 \frac{x - 1}{6}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{x - 1}{6}$ par $1$ .

$17 lim_{x \to 0} \frac{x - 1}{6}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) lim_{x \to 0} x - 1$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1)$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$17 (\frac{1}{6}) (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$17 (\frac{1}{6}) (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $17$ et $\frac{1}{6}$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{17}{6} (0 - 1)$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{17}{6} \cdot - 1$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{17}{6} \cdot - 1$ .

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Étape 5.4.1

Associez $\frac{17}{6}$ et $- 1$ .

$\frac{17 \cdot - 1}{6}$

Étape 5.4.2

Multipliez $17$ par $- 1$ .

$\frac{- 17}{6}$

Étape 5.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{17}{6}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{17}{6}$

Forme décimale :

$- 2.8\overline{3}$