Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite de $\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1}{h}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$\frac{{(1 + h)}^{3} - 1^{3}}{h}$

Étape 2.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1 + h$ et $b = 1$ .

$\frac{(1 + h - 1) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{(h + 0) ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.2

Additionnez $h$ et $0$ .

$\frac{h ({(1 + h)}^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.3

Réécrivez ${(1 + h)}^{2}$ comme $(1 + h) (1 + h)$ .

$\frac{h ((1 + h) (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.4

Développez $(1 + h) (1 + h)$ à l’aide de la méthode FOIL.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (1 (1 + h) + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h (1 + h) + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.4.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (1 \cdot 1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.5

Simplifiez et associez les termes similaires.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.3.5.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{h (1 + 1 h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.5.1.2

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{h (1 + h + h \cdot 1 + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.5.1.3

Multipliez $h$ par $1$ .

$\frac{h (1 + h + h + h \cdot h + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.5.1.4

Multipliez $h$ par $h$ .

$\frac{h (1 + h + h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.5.2

Additionnez $h$ et $h$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + (1 + h) \cdot 1 + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.6

Multipliez $1 + h$ par $1$ .

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1^{2})}{h}$

Étape 2.1.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{h (1 + 2 h + h^{2} + 1 + h + 1)}{h}$

Étape 2.1.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{h (2 h + h^{2} + 2 + h + 1)}{h}$

Étape 2.1.3.9

Additionnez $2 h$ et $h$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 2 + 1)}{h}$

Étape 2.1.3.10

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{h (3 h + h^{2} + 3)}{h}$

Étape 2.1.3.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $h$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h^{2} + 3 h + 3)}{h}$

Étape 2.2.2

Divisez $h^{2} + 3 h + 3$ par $1$ .

$h^{2} + 3 h + 3$