Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x - \frac{π}{4})}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4})}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{π}{4})}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{x - \frac{π}{4}}$

Étape 1.4

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{x \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}}$

Étape 1.5

Associez $x$ et $\frac{4}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{\frac{x \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}}$

Étape 1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{\frac{x \cdot 4 - π}{4}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4}) \frac{4}{x \cdot 4 - π}$

Étape 2.1.2

Associez $\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})$ et $\frac{4}{x \cdot 4 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4}) \cdot 4}{x \cdot 4 - π}$

Étape 2.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{x \cdot 4 - π}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$4 \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 \frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{x \cdot 4 - π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - lim_{x \to \frac{π}{4}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.1.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.1.5

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} (π - π))}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$4 \frac{\sin (\frac{1}{4} \cdot 0)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$4 \frac{\sin (0)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.2.3.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - π}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} x \cdot 4 - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π}$

Étape 3.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 \frac{0}{4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$4 \frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 \frac{0}{4 \frac{π}{4} - π}$

Étape 3.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$4 \frac{0}{π - π}$

Étape 3.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})}{x \cdot 4 - π} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{x \cdot 4 - π}{4})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.2

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (\frac{4 \cdot x - π}{4})]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = \frac{4 x - π}{4}$ .

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Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{4 x - π}{4}$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [\frac{4 x - π}{4}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4}) \frac{d}{d x} [\frac{4 x - π}{4}]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.4

Comme $\frac{1}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{4 x - π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x - π]$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4}) \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [4 x - π]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.5

Associez $\frac{1}{4}$ et $\cos (\frac{4 x - π}{4})$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} \frac{d}{d x} [4 x - π]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.7

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.9

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} (4 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.10

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} (4 + 0)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.11

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4} \cdot 4}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.12

Associez $\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4}$ et $4$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{\cos (\frac{4 x - π}{4}) \cdot 4}{4}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.13

Déplacez $4$ à gauche de $\cos (\frac{4 x - π}{4})$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{4 \cdot \cos (\frac{4 x - π}{4})}{4}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.14

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{4 \cos (\frac{4 x - π}{4})}{4}}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.14.2

Divisez $\cos (\frac{4 x - π}{4})$ par $1$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4 - π]}$

Étape 3.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cdot 4 - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{\frac{d}{d x} [x \cdot 4] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.16

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot 4]$ .

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Étape 3.3.16.1

Déplacez $4$ à gauche de $x$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{\frac{d}{d x} [4 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.16.2

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.16.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.16.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.17

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4 + 0}$

Étape 3.3.18

Additionnez $4$ et $0$ .

$4 lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (\frac{4 x - π}{4})}{4}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (\frac{4 x - π}{4})$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{4 x - π}{4})$

Étape 4.3

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - π)$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 4 x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π))$

Étape 4.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} (4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - lim_{x \to \frac{π}{4}} π))$

Étape 4.6

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} (4 lim_{x \to \frac{π}{4}} x - π))$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.1.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{4}) \cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$

Étape 6.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 \cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$

Étape 6.2

Multipliez $\cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$ par $1$ .

$\cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$

Étape 6.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 6.3.1

Annulez le facteur commun.

$\cos (\frac{1}{4} (4 \frac{π}{4} - π))$

Étape 6.3.2

Réécrivez l’expression.

$\cos (\frac{1}{4} (π - π))$

Étape 6.4

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\cos (\frac{1}{4} \cdot 0)$

Étape 6.5

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 6.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$