Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (\frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}}) - \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + h + 2}{\frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{lim_{x \to 0} \frac{x + h - 4}{h}} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{1}{h}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x + h - 4} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - lim_{x \to 0} 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - lim_{x \to 0} \frac{x - 2}{\frac{x - 4}{h}}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Étape 11

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Étape 12

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 0} \frac{x - 4}{h}}$

Étape 13

Placez le terme $\frac{1}{h}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} lim_{x \to 0} x - 4}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 4)}$

Étape 15

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 16.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 4)}$

Étape 16.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Associez les termes opposés dans $\frac{0 + h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$ .

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Étape 17.1.1

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (0 + h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Étape 17.1.2

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{0 - 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Étape 17.1.3

Soustrayez $1 \cdot 2$ de $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (0 - 1 \cdot 4)}$

Étape 17.1.4

Soustrayez $1 \cdot 4$ de $0$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 1 \cdot 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Étape 17.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Étape 17.2.2

Factorisez $\frac{1}{h}$ à partir de $\frac{h + 2}{\frac{1}{h} (h - 4)}$ .

$h \frac{h + 2}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Étape 17.2.3

Associez $h$ et $\frac{h + 2}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{- 1 \cdot 2}{\frac{1}{h} (- 1 \cdot 4)}$

Étape 17.2.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Étape 17.2.5

Annulez le facteur commun à $2$ et $4$ .

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Étape 17.2.5.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{\frac{1}{h} \cdot (4)}$

Étape 17.2.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.2.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{1}{h} \cdot (4)$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 (1)}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Étape 17.2.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{2 \cdot 1}{2 (\frac{1}{h} \cdot (2))}$

Étape 17.2.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{1}{h} \cdot (2)}$

Étape 17.2.6

Associez $\frac{1}{h}$ et $2$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{1}{\frac{2}{h}}$

Étape 17.2.7

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - (1 \frac{h}{2})$

Étape 17.2.8

Multipliez $\frac{h}{2}$ par $1$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} - \frac{h}{2}$

Étape 17.3

Pour écrire $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2}$

Étape 17.4

Pour écrire $- \frac{h}{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2)}{h - 4} \cdot \frac{2}{2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Étape 17.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(h - 4) \cdot 2$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.5.1

Multipliez $\frac{h (h + 2)}{h - 4}$ par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h}{2} \cdot \frac{h - 4}{h - 4}$

Étape 17.5.2

Multipliez $\frac{h}{2}$ par $\frac{h - 4}{h - 4}$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{(h - 4) \cdot 2} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.5.3

Réorganisez les facteurs de $(h - 4) \cdot 2$ .

$\frac{h (h + 2) \cdot 2}{2 (h - 4)} - \frac{h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.7.1

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2) \cdot 2 - h (h - 4)$ .

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Étape 17.7.1.1

Factorisez $h$ à partir de $h (h + 2) \cdot 2$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) - h (h - 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.1.2

Factorisez $h$ à partir de $- h (h - 4)$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.1.3

Factorisez $h$ à partir de $h ((h + 2) \cdot 2) + h (- (h - 4))$ .

$\frac{h ((h + 2) \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (h \cdot 2 + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.3

Déplacez $2$ à gauche de $h$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 2 \cdot 2 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{h (2 \cdot h + 4 - (h - 4))}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.5

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{h (2 h + 4 - h - - 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.6

Multipliez $- 1$ par $- 4$ .

$\frac{h (2 h + 4 - h + 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.7

Soustrayez $h$ de $2 h$ .

$\frac{h (h + 4 + 4)}{2 (h - 4)}$

Étape 17.7.8

Additionnez $4$ et $4$ .

$\frac{h (h + 8)}{2 (h - 4)}$