Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {\tan (x)}^{\cos (x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (x)}^{\cos (x)}$ comme $e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (x)}^{\cos (x)})$ en déplaçant $\cos (x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{\cos (0) \ln (\tan (0))}$

Étape 3.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{1 \ln (\tan (0))}$

Étape 3.3

Multipliez $\ln (\tan (0))$ par $1$ .

$e^{\ln (\tan (0))}$

Étape 3.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$e^{\ln (0)}$

Étape 3.5

Comme $e^{\ln (0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$

Étape 5

Comme l’exposant $\cos (x) \ln (\tan (x))$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{\cos (x) \ln (\tan (x))}$ approche de $0$ .

$0$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$