Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Étape 1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 0} {(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$

Étape 2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 2.1

Réécrivez ${(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1}$ comme $e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})}$ .

$\ln (lim_{x \to 0} e^{\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})})$

Étape 2.2

Développez $\ln ({(x^{4} + 8 x + 1)}^{x - 1})$ en déplaçant $x - 1$ hors du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 0} e^{(x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (e^{lim_{x \to 0} (x - 1) \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (e^{lim_{x \to 0} x - 1 \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \ln (x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + 8 x + 1)})$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln (lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Étape 3.7

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 8 x + lim_{x \to 0} 1)})$

Étape 3.8

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 1)})$

Étape 3.9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\ln (e^{(lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln ({(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 lim_{x \to 0} x + 1)})$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\ln (e^{(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Utilisez les règles des logarithmes pour retirer $(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1)$ de l’exposant.

$(0 - 1 \cdot 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$(0 - 1) \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0^{4} + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 8 \cdot 0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.4.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.5

Additionnez $0$ et $0$ .

$- 1 \cdot \ln (0 + 1) \ln (e)$

Étape 5.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$- 1 \cdot \ln (1) \ln (e)$

Étape 5.7

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$- 1 \cdot 0 \ln (e)$

Étape 5.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$0 \ln (e)$

Étape 5.9

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 5.10

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$