Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{- 2}^{4} | 2 x - 3 | d x$

Étape 1

Séparez l’intégrale selon là où $2 x - 3$ est positif et négatif.

$\int_{- 2}^{\frac{3}{2}} - 2 x + 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int_{- 2}^{\frac{3}{2}} - 2 x d x + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} x d x + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 5

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + \int_{- 2}^{\frac{3}{2}} 3 d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 6

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x - 3 d x$

Étape 7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + \int_{\frac{3}{2}}^{4} 2 x d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

Étape 8

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 \int_{\frac{3}{2}}^{4} x d x + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

Étape 9

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

Étape 10

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + \int_{\frac{3}{2}}^{4} - 3 d x$

Étape 11

Appliquez la règle de la constante.

$- 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{- 2}^{\frac{3}{2}}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

Étape 12

Remplacez et simplifiez.

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Étape 12.1

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $\frac{3}{2}$ et sur $- 2$ .

$- 2 ((\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 x]_{- 2}^{\frac{3}{2}} + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

Étape 12.2

Évaluez $3 x$ sur $\frac{3}{2}$ et sur $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{\frac{3}{2}}^{4}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

Étape 12.3

Évaluez $\frac{x^{2}}{2}$ sur $4$ et sur $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 ((\frac{4^{2}}{2}) - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) + - 3 x]_{\frac{3}{2}}^{4}$

Étape 12.4

Évaluez $- 3 x$ sur $4$ et sur $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{{(- 2)}^{2}}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) + - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5

Simplifiez

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Étape 12.5.1

Élevez $- 2$ à la puissance $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{4}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 12.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 (1)}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - \frac{2}{1}) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 1 \cdot 2) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.3

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 3 (\frac{3}{2}) - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.4

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{3 \cdot 3}{2} - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.5

Multipliez $3$ par $3$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} - 3 \cdot - 2 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.6

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + 6 + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.7

Pour écrire $6$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + 6 \cdot \frac{2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.8

Associez $6$ et $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9 + 6 \cdot 2}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.10.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{9 + 12}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.10.2

Additionnez $9$ et $12$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.11

Pour écrire $- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot \frac{2}{2} + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.12

Associez $- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2)$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot 2}{2} + \frac{21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.13

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) \cdot 2 + 21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.14

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{4^{2}}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.15

Élevez $4$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{16}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.16

Annulez le facteur commun à $16$ et $2$ .

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Étape 12.5.16.1

Factorisez $2$ à partir de $16$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.16.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.16.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.16.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.16.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (\frac{8}{1} - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.16.2.4

Divisez $8$ par $1$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.17

Pour écrire $2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot \frac{2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.18

Associez $2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2})$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21}{2} + \frac{2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.19

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 4 (\frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.20.1

Divisez $3$ par $2$ .

$\frac{- 4 (\frac{{1.5}^{2}}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.2

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$\frac{- 4 (\frac{2.25}{2} - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.3

Divisez $2.25$ par $2$ .

$\frac{- 4 (1.125 - 2) + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.4

Soustrayez $2$ de $1.125$ .

$\frac{- 4 \cdot - 0.875 + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.5

Multipliez $- 4$ par $- 0.875$ .

$\frac{3.5 + 21 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.6

Additionnez $3.5$ et $21$ .

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{{(\frac{3}{2})}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.7

Divisez $3$ par $2$ .

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{{1.5}^{2}}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.8

Élevez $1.5$ à la puissance $2$ .

$\frac{24.5 + 2 (8 - \frac{2.25}{2}) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.9

Divisez $2.25$ par $2$ .

$\frac{24.5 + 2 (8 - 1 \cdot 1.125) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.10

Multipliez $- 1$ par $1.125$ .

$\frac{24.5 + 2 (8 - 1.125) \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.11

Soustrayez $1.125$ de $8$ .

$\frac{24.5 + 2 \cdot 6.875 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.12

Multipliez $2$ par $6.875$ .

$\frac{24.5 + 13.75 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.13

Multipliez $13.75$ par $2$ .

$\frac{24.5 + 27.5}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.20.14

Additionnez $24.5$ et $27.5$ .

$\frac{52}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.21

Annulez le facteur commun à $52$ et $2$ .

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Étape 12.5.21.1

Factorisez $2$ à partir de $52$ .

$\frac{2 \cdot 26}{2} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.21.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.21.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot 26}{2 (1)} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.21.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 26}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.21.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{26}{1} - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.21.2.4

Divisez $26$ par $1$ .

$26 - 3 \cdot 4 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.22

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$26 - 12 + 3 (\frac{3}{2})$

Étape 12.5.23

Associez $3$ et $\frac{3}{2}$ .

$26 - 12 + \frac{3 \cdot 3}{2}$

Étape 12.5.24

Multipliez $3$ par $3$ .

$26 - 12 + \frac{9}{2}$

Étape 12.5.25

Pour écrire $- 12$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$26 - 12 \cdot \frac{2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 12.5.26

Associez $- 12$ et $\frac{2}{2}$ .

$26 + \frac{- 12 \cdot 2}{2} + \frac{9}{2}$

Étape 12.5.27

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$26 + \frac{- 12 \cdot 2 + 9}{2}$

Étape 12.5.28

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.28.1

Multipliez $- 12$ par $2$ .

$26 + \frac{- 24 + 9}{2}$

Étape 12.5.28.2

Additionnez $- 24$ et $9$ .

$26 + \frac{- 15}{2}$

Étape 12.5.29

Placez le signe moins devant la fraction.

$26 - \frac{15}{2}$

Étape 12.5.30

Pour écrire $26$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$26 \cdot \frac{2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 12.5.31

Associez $26$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{26 \cdot 2}{2} - \frac{15}{2}$

Étape 12.5.32

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{26 \cdot 2 - 15}{2}$

Étape 12.5.33

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.33.1

Multipliez $26$ par $2$ .

$\frac{52 - 15}{2}$

Étape 12.5.33.2

Soustrayez $15$ de $52$ .

$\frac{37}{2}$

Étape 12.5.34

Annulez le facteur commun à $37$ et $2$ .

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Étape 12.5.34.1

Réécrivez $37$ comme $1 (37)$ .

$\frac{1 (37)}{2}$

Étape 12.5.34.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.5.34.2.1

Réécrivez $2$ comme $1 (2)$ .

$\frac{1 \cdot 37}{1 \cdot 2}$

Étape 12.5.34.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 \cdot 37}{1 \cdot 2}$

Étape 12.5.34.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{37}{2}$

Étape 13

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{37}{2}$

Forme décimale :

$18.5$

Forme de nombre mixte :

$18 \frac{1}{2}$

Étape 14