Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\sin (- x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (3 x)}{\sin (- x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (3 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\sin (- x)}$

Étape 1.3

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}}{\sin (- x)}$ comme un produit.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)} \cdot \frac{1}{\sin (- x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{\sin (3 x)}{\cos (3 x)}$ à $\tan (3 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \frac{1}{\sin (- x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (- x)}$ à $\csc (- x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (3 x) \csc (- x)$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (3 x) \csc (- x)$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (3 x) \csc (- x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \csc (- x) \\ - 0.1 & - 3.09852412 \\ - 0.01 & - 3.00095033 \\ - 0.001 & - 3.0000095 \\ - 0.0001 & - 3.00000009 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 3$ . Ainsi, la limite de $\tan (3 x) \csc (- x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $- 3$ .

$- 3$

Étape 5

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (3 x) \csc (- x)$

Étape 6

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (3 x) \csc (- x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (3 x) \csc (- x) \\ 0.1 & - 3.09852412 \\ 0.01 & - 3.00095033 \\ 0.001 & - 3.0000095 \\ 0.0001 & - 3.00000009 \end{array}$

Étape 7

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $- 3$ . Ainsi, la limite de $\tan (3 x) \csc (- x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $- 3$ .

$- 3$