Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Étape 1.1.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \arcsin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite de $\arcsin (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\arcsin (0)}$

Étape 1.1.3.2

La valeur exacte de $\arcsin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\arcsin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Étape 1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\arcsin (x)]}$

Étape 1.3.4

La dérivée de $\arcsin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \sqrt{1 - x^{2}}$

Étape 1.5

Associez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ et $\sqrt{1 - x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x^{2} + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \sqrt{1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 2.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - lim_{x \to 0} x^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0^{2}}}{0^{2} + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sqrt{1 - 0}}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{1}}{0^{2} + 1}$

Étape 4.1.4

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.3

Divisez $1$ par $1$ .

$1$