Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(x + h)}^{3} - x^{3}}{h}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{h}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{h} lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - x^{3}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} (lim_{x \to 0} {(x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de ${(x + h)}^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Étape 5

Évaluez la limite de $h$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - lim_{x \to 0} x^{3})$

Étape 6

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{h} ({(lim_{x \to 0} x + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{h} ({(0 + h)}^{3} - {(lim_{x \to 0} x)}^{3})$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{h} ({(0 + h)}^{3} - 0^{3})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Additionnez $0$ et $h$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} - 0^{3})$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} - 0)$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{h} (h^{3} + 0)$

Étape 8.3

Additionnez $h^{3}$ et $0$ .

$\frac{1}{h} h^{3}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 8.4.1

Factorisez $h$ à partir de $h^{3}$ .

$\frac{1}{h} (h \cdot h^{2})$

Étape 8.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{h} (h \cdot h^{2})$

Étape 8.4.3

Réécrivez l’expression.

$h^{2}$