Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\tan (x^{2})}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x^{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x - 1)}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\sec (x - 1)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\cos (x - 1)}}{\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x^{2})}{\cos (x^{2})}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x - 1)} \cdot \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x - 1)}$ à $\sec (x - 1)$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{\cos (x^{2})}{\sin (x^{2})}$ à $\cot (x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cot (x^{2})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sec (x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\sec (lim_{x \to 0} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 0} \cot (x^{2})$

Étape 4

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x^{2})$

Étape 5

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la gauche, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\infty$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x^{2})$

Étape 7

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la droite, les valeurs de la fonction augmentent sans borne.

$\sec (0 - 1 \cdot 1) \cdot \infty$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec (0 - 1) \cdot \infty$

Étape 8.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\sec (- 1) \cdot \infty$

Étape 8.3

Évaluez $\sec (- 1)$ .

$1.00015232 \cdot \infty$

Étape 8.4

Une constante non nulle fois l’infini est l’infini.

$\infty$