Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\cot (x)}}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}}$

Étape 1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 1.3

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\ln (1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.1.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (4 \cdot 0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{\ln (1 + \sin (0))}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\tan (0)}$

Étape 2.1.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + \sin (4 x))}{\tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + \sin (4 x))]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + \sin (4 x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 + \sin (4 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [1 + \sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \sin (4 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (4 x)])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [\sin (4 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [\sin (4 x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 4 x$ .

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Étape 2.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.6.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $4 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + \sin (4 x)} (\cos (4 x) \frac{d}{d x} [4 x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.7

Associez $\cos (4 x)$ et $\frac{1}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [4 x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} (4 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.9

Associez $4$ et $\frac{\cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.11

Multipliez $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 2.3.12

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)} \cdot \frac{1}{\sec^{2} (x)}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{4 \cos (4 x)}{1 + \sin (4 x)}$ par $\frac{1}{\sec^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{4 \cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\cos (4 x)}{(1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \cos (4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$4 \frac{\cos (lim_{x \to 0} 4 x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Étape 3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} (1 + \sin (4 x)) \sec^{2} (x)}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 + \sin (4 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + lim_{x \to 0} \sin (4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (lim_{x \to 0} 4 x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.9

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.10

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 3.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$4 \frac{\cos (4 lim_{x \to 0} x)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 lim_{x \to 0} x)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\cos (4 \cdot 0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 \frac{\cos (0)}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Étape 5.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (4 \cdot 0)) \cdot \sec^{2} (0)}$

Étape 5.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + \sin (0)) \sec^{2} (0)}$

Étape 5.2.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$4 \frac{1}{(1 + 0) \sec^{2} (0)}$

Étape 5.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$4 \frac{1}{1 \sec^{2} (0)}$

Étape 5.2.4

Multipliez $\sec^{2} (0)$ par $1$ .

$4 \frac{1}{\sec^{2} (0)}$

Étape 5.2.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$4 \frac{1}{1^{2}}$

Étape 5.2.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 (\frac{1}{1})$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot 1$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$