Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} 3 x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\ln (1 + 3 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.1.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\ln (1 + 3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\ln (1 + 3 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.2.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + 5 x^{2})}$

Étape 1.1.3.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + lim_{x \to 0} 5 x^{2})}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 lim_{x \to 0} x^{2})}$

Étape 1.1.3.1.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{\ln (1 + 5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0^{2})}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 5 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{\ln (1 + 0)}$

Étape 1.1.3.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Étape 1.1.3.3.3

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 3 x^{2})}{\ln (1 + 5 x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 3 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 3 x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 3 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [3 x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [3 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.6

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + 3 x^{2}} (3 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.7

Associez $3$ et $\frac{1}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{1 + 3 x^{2}} (2 x)}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.9

Associez $2$ et $\frac{3}{1 + 3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{2 \cdot 3}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.10

Multipliez $2$ par $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6}{1 + 3 x^{2}} x}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.11

Associez $\frac{6}{1 + 3 x^{2}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{1 + 3 x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.12

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\ln (1 + 5 x^{2})]}$

Étape 1.3.13

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + 5 x^{2}$ .

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Étape 1.3.13.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Étape 1.3.13.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Étape 1.3.13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + 5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [1 + 5 x^{2}]}$

Étape 1.3.14

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Étape 1.3.15

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (0 + \frac{d}{d x} [5 x^{2}])}$

Étape 1.3.16

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [5 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}$

Étape 1.3.17

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{1}{1 + 5 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}$

Étape 1.3.18

Associez $5$ et $\frac{1}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.19

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{5}{1 + 5 x^{2}} (2 x)}$

Étape 1.3.20

Associez $2$ et $\frac{5}{1 + 5 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{2 \cdot 5}{1 + 5 x^{2}} x}$

Étape 1.3.21

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10}{1 + 5 x^{2}} x}$

Étape 1.3.22

Associez $\frac{10}{1 + 5 x^{2}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{1 + 5 x^{2}}}$

Étape 1.3.23

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}}{\frac{10 x}{5 x^{2} + 1}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{3 x^{2} + 1} \cdot \frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{6 x}{3 x^{2} + 1}$ par $\frac{5 x^{2} + 1}{10 x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{6 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Étape 1.6

Réduisez.

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Étape 1.6.1

Annulez le facteur commun à $6$ et $10$ .

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Étape 1.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $6 x (5 x^{2} + 1)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{(3 x^{2} + 1) (10 x)}$

Étape 1.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.6.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(3 x^{2} + 1) (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Étape 1.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (3 x (5 x^{2} + 1))}{2 ((3 x^{2} + 1) (5 x))}$

Étape 1.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Étape 1.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{3 x (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) (5 x)}$

Étape 1.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{3 (5 x^{2} + 1)}{(3 x^{2} + 1) \cdot (5)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{3}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{5} lim_{x \to 0} \frac{5 x^{2} + 1}{3 x^{2} + 1}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 5 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Étape 2.4

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + 1}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{lim_{x \to 0} 3 x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0^{2} + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{5 \cdot 0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{0 + 1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Étape 4.1.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0^{2} + 1}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{3 \cdot 0 + 1}$

Étape 4.2.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{0 + 1}$

Étape 4.2.3

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{5} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{3}{5}$ par $1$ .

$\frac{3}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{3}{5}$

Forme décimale :

$0.6$