Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\arctan (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x)}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.2

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 1.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^{2} + 1}}{\cos (x)}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{x^{2} + 1}$ par $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{(x^{2} + 1) \cos (x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) \cos (x)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{(0^{2} + 1) \cdot \cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Séparez les fractions.

$\frac{1}{0^{2} + 1} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 4.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{1}{0^{2} + 1} \sec (0)$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{0 + 1} \sec (0)$

Étape 4.3.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1} \sec (0)$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1} \sec (0)$

Étape 4.4.2

Réécrivez l’expression.

$1 \sec (0)$

Étape 4.5

Multipliez $\sec (0)$ par $1$ .

$\sec (0)$

Étape 4.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$