Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 8 \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 0} \sec (x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{8 \sec (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{8 \sec (0) - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{8 \cdot 1 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) - 8}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x) - 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 \sec (x) - 8$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [8 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 \sec (x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 \sec (x)$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 8$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x) + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $8 \sec (x) \tan (x)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{8 \sec (x) \tan (x)}{2 x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $2$ à partir de $8 \sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 (x)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (4 \sec (x) \tan (x))}{2 x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{4 \sec (x) \tan (x)}{x}$

Étape 2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 \frac{lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$4 \frac{\sec (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 \frac{\sec (0) \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.5.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$4 \frac{1 \cdot \tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.5.2

Multipliez $\tan (0)$ par $1$ .

$4 \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.5.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$4 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sec (x) \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.4.1

Multipliez $\sec (x)$ par $\sec^{2} (x)$ .

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Étape 3.3.4.1.1

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{1} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 lim_{x \to 0} \frac{{\sec (x)}^{1 + 2} + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.4.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan (x) \sec (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.6

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\sec^{3} (x) + \tan^{2} (x) \sec (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)}{1}$

Étape 3.4

Divisez $\tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$ par $1$ .

$4 lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + \sec^{3} (x)$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$4 (lim_{x \to 0} \tan^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Étape 4.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\tan^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 ({(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Étape 4.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Étape 4.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sec^{3} (x))$

Étape 4.6

Déplacez l’exposant $3$ de $\sec^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{3})$

Étape 4.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$4 (\tan^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (lim_{x \to 0} x))$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$4 (\tan^{2} (0) \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 (0^{2} \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Étape 6.1.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$4 (0 \cdot \sec (0) + \sec^{3} (0))$

Étape 6.1.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$4 (0 \cdot 1 + \sec^{3} (0))$

Étape 6.1.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$4 (0 + \sec^{3} (0))$

Étape 6.1.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$4 (0 + 1^{3})$

Étape 6.1.6

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 (0 + 1)$

Étape 6.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$4 \cdot 1$

Étape 6.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4$