Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} (\sqrt{9 x^{4} + 8}) - 3 x^{2} - \frac{3}{x^{4}} + 3$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 4

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 5

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 6

Évaluez la limite de $8$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - lim_{x \to 8} 3 x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 lim_{x \to 8} x^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - lim_{x \to 8} \frac{3}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 9

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 11

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 12

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + lim_{x \to 8} 3$

Étape 13

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Étape 14

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 14.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Étape 14.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{4}} + 3$

Étape 14.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt{9 \cdot 8^{4} + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15

Simplifiez la réponse.

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Étape 15.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1.1

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$\sqrt{9 \cdot 4096 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.2

Multipliez $9$ par $4096$ .

$\sqrt{36864 + 8} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.3

Additionnez $36864$ et $8$ .

$\sqrt{36872} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.4

Réécrivez $36872$ comme $2^{2} \cdot 9218$ .

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Étape 15.1.4.1

Factorisez $4$ à partir de $36872$ .

$\sqrt{4 (9218)} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.4.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\sqrt{2^{2} \cdot 9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.5

Extrayez les termes de sous le radical.

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 8^{2} - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.6

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$2 \sqrt{9218} - 3 \cdot 64 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.7

Multipliez $- 3$ par $64$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 \frac{1}{8^{4}} + 3$

Étape 15.1.8

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 - 3 (\frac{1}{4096}) + 3$

Étape 15.1.9

Associez $- 3$ et $\frac{1}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 + \frac{- 3}{4096} + 3$

Étape 15.1.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \sqrt{9218} - 192 - \frac{3}{4096} + 3$

Étape 15.2

Pour écrire $- 192$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - 192 \cdot \frac{4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Étape 15.3

Associez $- 192$ et $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096}{4096} - \frac{3}{4096} + 3$

Étape 15.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 192 \cdot 4096 - 3}{4096} + 3$

Étape 15.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.5.1

Multipliez $- 192$ par $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786432 - 3}{4096} + 3$

Étape 15.5.2

Soustrayez $3$ de $- 786432$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435}{4096} + 3$

Étape 15.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3$

Étape 15.7

Pour écrire $3$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + 3 \cdot \frac{4096}{4096}$

Étape 15.8

Associez $3$ et $\frac{4096}{4096}$ .

$2 \sqrt{9218} - \frac{786435}{4096} + \frac{3 \cdot 4096}{4096}$

Étape 15.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 3 \cdot 4096}{4096}$

Étape 15.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 15.10.1

Multipliez $3$ par $4096$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 786435 + 12288}{4096}$

Étape 15.10.2

Additionnez $- 786435$ et $12288$ .

$2 \sqrt{9218} + \frac{- 774147}{4096}$

Étape 15.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Étape 16

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$2 \sqrt{9218} - \frac{774147}{4096}$

Forme décimale :

$3.02009978 \dots$