Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (\frac{\frac{1}{x + 5}}{x}) - (\frac{\frac{1}{5}}{x})$

Étape 1

Associez des fractions en utilisant un dénominateur commun.

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Étape 1.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} - \frac{1}{5}}{x}$

Étape 1.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $\frac{1}{x + 5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5}}{x}$

Étape 1.2.2

Pour écrire $- \frac{1}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x + 5} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Étape 1.2.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(x + 5) \cdot 5$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{x + 5}$ par $\frac{5}{5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}}{x}$

Étape 1.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{(x + 5) \cdot 5} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x + 5) \cdot 5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5}{5 (x + 5)} - \frac{x + 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.5

Réécrivez $\frac{5 - (x + 5)}{5 (x + 5)}$ en forme factorisée.

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Étape 1.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 1 \cdot 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{5 - x - 5}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.5.3

Soustrayez $5$ de $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x + 0}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.5.4

Additionnez $- x$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{- x}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x}{5 (x + 5)}}{x}$

Étape 1.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} - \frac{x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{x}{5 (x + 5)}$ dans le numérateur.

$lim_{x \to 0} \frac{- x}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot - 1}{5 (x + 5)} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.4.4

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{5 (x + 5)}$

Étape 1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} - \frac{1}{5 (x + 5)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{1}{5 (x + 5)}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 5}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 5}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 5}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{0 + 5}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $5$ .

$- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{5 \cdot 5}$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{1}{25}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{25}$

Forme décimale :

$- 0.04$