Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{x - 3}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x}}{x - 3}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{x \cdot 3} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3}{3 x} - \frac{x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{3 - x}{3 x}}{x - 3}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{3 - x}{3 x} \cdot \frac{1}{x - 3}$

Étape 2.2

Multipliez $\frac{3 - x}{3 x}$ par $\frac{1}{x - 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 - x}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun à $3 - x$ et $x - 3$ .

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Étape 2.3.1

Réécrivez $3$ comme $- 1 (- 3)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3) - x}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3) - (x)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (- 3) - (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 3 + x)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3.5

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1 (x - 3)}{3 x (x - 3)}$

Étape 2.3.6

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{- 1}{3 x}$

Étape 3

Comme la fonction approche de $\infty$ depuis la gauche mais $- \infty$ depuis la droite, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$