Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \arctan (x) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.2.1

Évaluez la limite de $\arctan (x)$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\arctan (0) - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.2

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.2.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.2.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{3}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\arctan (x) - x}{x^{3}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x) - x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\arctan (x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\arctan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Associez des termes.

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Étape 1.3.5.1.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} - 1 \cdot \frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5.1.2

Associez $- 1$ et $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{- (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{\frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}}{3 x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1} \cdot \frac{1}{3 x^{2}}$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1 - (1 + x^{2})}{x^{2} + 1}$ par $\frac{1}{3 x^{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (3 x^{2})}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - (1 + x^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.2

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite de $1 - (1 + x^{2})$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0^{2})}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - (1 + 0)}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.2.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} (x^{2} + 1) (x^{2})}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 1 \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 3.1.3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{({(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot {(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 3.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0^{2} + 1) \cdot 0^{2}}$

Étape 3.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.7.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{(0 + 1) \cdot 0^{2}}$

Étape 3.1.3.7.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{1 \cdot 0^{2}}$

Étape 3.1.3.7.3

Multipliez $0^{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 3.1.3.7.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.7.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - (1 + x^{2})}{(x^{2} + 1) (x^{2})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - (1 + x^{2})$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (1 + x^{2})]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (1 + x^{2})$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [1 + x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - (0 + 2 x)}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4.5

Additionnez $0$ et $2 x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 1 \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.4.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{0 - 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $2 x$ de $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 1) (x^{2})]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2} + 1$ et $g (x) = x^{2}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \frac{d}{d x} [x^{2}] + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(x^{2} + 1) \cdot 2 x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 \cdot (x^{2} + 1) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 1]}$

Étape 3.3.9

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + \frac{d}{d x} [1])}$

Étape 3.3.11

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} (2 x + 0)}$

Étape 3.3.12

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{2} \cdot 2 x}$

Étape 3.3.13

Multipliez $x^{2}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.13.1

Déplacez $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x \cdot x^{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.13.2

Multipliez $x$ par $x^{2}$ .

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Étape 3.3.13.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1} x^{2} \cdot 2}$

Étape 3.3.13.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{1 + 2} \cdot 2}$

Étape 3.3.13.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + x^{3} \cdot 2}$

Étape 3.3.14

Déplacez $2$ à gauche de $x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 (x^{2} + 1) x + 2 \cdot x^{3}}$

Étape 3.3.15

Simplifiez

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Étape 3.3.15.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{(2 x^{2} + 2 \cdot 1) x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{2} x + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.15.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1} x^{2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{1 + 2} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.3.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 \cdot 1 x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{2 x^{3} + 2 x + 2 x^{3}}$

Étape 3.3.15.3.5

Additionnez $2 x^{3}$ et $2 x^{3}$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{- 2 x}{4 x^{3} + 2 x}$

Étape 4

Placez le terme $- 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + 2 x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} 4 x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 5.1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 lim_{x \to 0} x^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 5.1.3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + lim_{x \to 0} 2 x}$

Étape 5.1.3.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 {(lim_{x \to 0} x)}^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 lim_{x \to 0} x}$

Étape 5.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0}$

Étape 5.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.1.3.6.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{4 \cdot 0 + 2 \cdot 0}$

Étape 5.1.3.6.1.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 2 \cdot 0}$

Étape 5.1.3.6.1.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 5.1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Étape 5.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{0}{0}$

Étape 5.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{4 x^{3} + 2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3} + 2 x]}$

Étape 5.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{3} + 2 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Étape 5.3.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{4 \cdot 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.4.3

Multipliez $3$ par $4$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 5.3.5.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 5.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2 \cdot 1}$

Étape 5.3.5.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{12 x^{2} + 2}$

Étape 6

Évaluez la limite.

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Étape 6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + 2}$

Étape 6.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 12 x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 6.4

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 6.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 2}$

Étape 7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot - 2 \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Étape 8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0^{2} + 2}$

Étape 8.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{12 \cdot 0 + 2}$

Étape 8.3.2

Multipliez $12$ par $0$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{0 + 2}$

Étape 8.3.3

Additionnez $0$ et $2$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{2}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Étape 8.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3}$

Étape 8.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{3}$

Forme décimale :

$- 0.\overline{3}$