Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x \cot (x)}{\sec (2 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{lim_{x \to 0} \sec (2 x)}$

Étape 1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cot (x)}{\sec (2 \cdot 0)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ - 0.1 & 0.99666444 \\ - 0.01 & 0.99996666 \\ - 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $1$ .

$1$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \cot (x) \\ 0.1 & 0.99666444 \\ 0.01 & 0.99996666 \\ 0.001 & 0.99999966 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $1$ . Ainsi, la limite de $x \cot (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $1$ .

$\frac{1}{\sec (2 \cdot 0)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez $\sec (2 \cdot 0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{1}{\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}}$

Étape 9.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (2 \cdot 0)}$ .

$1 \cos (2 \cdot 0)$

Étape 9.3

Multipliez $\cos (2 \cdot 0)$ par $1$ .

$\cos (2 \cdot 0)$

Étape 9.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$\cos (0)$

Étape 9.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$