Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\tan (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.2

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.3

Convertissez de $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ à $\cot (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.4

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Étape 1.5

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\cot (x)}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.6

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}}{\frac{1}{\sin (x)}}$

Étape 1.7

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sin (x)$

Étape 1.8

Écrivez $\sin (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Étape 1.9

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.9.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{1}$

Étape 1.9.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \cos (x)$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (0)$

Étape 4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1$