Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Étape 1

Évaluez la limite de $\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(3 + h)}^{- 1} - 3^{- 1}}{h}$

Étape 2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.1.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - 3^{- 1}}{h}$

Étape 2.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} - \frac{1}{3}}{h}$

Étape 2.1.3

Pour écrire $\frac{1}{3 + h}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3}}{h}$

Étape 2.1.4

Pour écrire $- \frac{1}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{1}{3 + h} \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Étape 2.1.5

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 + h) \cdot 3$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 2.1.5.1

Multipliez $\frac{1}{3 + h}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{3 + h}{3 + h}}{h}$

Étape 2.1.5.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{3 + h}{3 + h}$ .

$\frac{\frac{3}{(3 + h) \cdot 3} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.5.3

Réorganisez les facteurs de $(3 + h) \cdot 3$ .

$\frac{\frac{3}{3 (3 + h)} - \frac{3 + h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.7

Réécrivez $\frac{3 - (3 + h)}{3 (3 + h)}$ en forme factorisée.

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Étape 2.1.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\frac{3 - 1 \cdot 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.7.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{\frac{3 - 3 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.7.3

Soustrayez $3$ de $3$ .

$\frac{\frac{0 - h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.7.4

Soustrayez $h$ de $0$ .

$\frac{\frac{- h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.1.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{- \frac{h}{3 (3 + h)}}{h}$

Étape 2.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$- \frac{h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3

Annulez le facteur commun de $h$ .

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Étape 2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{h}{3 (3 + h)}$ dans le numérateur.

$\frac{- h}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.2

Factorisez $h$ à partir de $- h$ .

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{h \cdot - 1}{3 (3 + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Étape 2.3.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3 (3 + h)}$

Étape 2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 (3 + h)}$