Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} (x) \sin (\frac{π}{x})$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \sin (\frac{π}{x})$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Étape 3

Placez le terme $π$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$8 \cdot \sin (π \frac{1}{8})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Associez $π$ et $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \sin (\frac{π}{8})$

Étape 7.2

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{8})$ est $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Étape 7.2.1

Réécrivez $\frac{π}{8}$ comme un angle où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues divisées par $2$ .

$8 \cdot \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Étape 7.2.2

Appliquez l’identité de demi-angle du sinus.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Étape 7.2.3

Remplacez le $\pm$ par $+$ car le sinus est positif dans le premier quadrant.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Étape 7.2.4

Simplifiez $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Étape 7.2.4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Étape 7.2.4.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Étape 7.2.4.5

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 7.2.4.5.1

Multipliez $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 7.2.4.5.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Étape 7.2.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ comme $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Étape 7.2.4.7

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 7.2.4.7.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Étape 7.2.4.7.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$8 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 7.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.3.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$2 (4) \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 7.3.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 4 \cdot \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Étape 7.3.3

Réécrivez l’expression.

$4 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$4 \sqrt{2 - \sqrt{2}}$

Forme décimale :

$3.06146745 \dots$