Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (\frac{1}{3 x}) - (\frac{1}{x (x + 3)})$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 1.1.1

Associez des termes.

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Étape 1.1.1.1

Pour écrire $\frac{1}{3 x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)})$

Étape 1.1.1.2

Pour écrire $- (\frac{1}{x (x + 3)})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.1.1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $3 x (x + 3)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.1.1.3.1

Multipliez $\frac{1}{3 x}$ par $\frac{x + 3}{x + 3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - (\frac{1}{x (x + 3)}) \cdot \frac{3}{3}$

Étape 1.1.1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x (x + 3)}$ par $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{x (x + 3) \cdot 3}$

Étape 1.1.1.3.3

Réorganisez les facteurs de $x (x + 3) \cdot 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)} - \frac{3}{3 x (x + 3)}$

Étape 1.1.1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x + 3 - 3}{3 x (x + 3)}$

Étape 1.1.1.5

Soustrayez $3$ de $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x + 0}{3 x (x + 3)}$

Étape 1.1.1.6

Additionnez $x$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

Étape 1.1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{3 x (x + 3)}$

Étape 1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{3 (x + 3)}$

Étape 1.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{x + 3}$

Étape 1.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Étape 1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Étape 1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 3}$

Étape 1.6

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} x + 3}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{0 + 3}$

Étape 3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1

Additionnez $0$ et $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 3}$

Étape 3.2.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{1}{9}$

Étape 4

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{9}$

Forme décimale :

$0.\overline{1}$