Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x^{4} + 3 x + 2}{5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + 3 x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x^{4} + lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 3

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 5

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - 9 x^{2} - 12 x^{3}}$

Étape 6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 9 x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - lim_{x \to 0} 9 x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

Étape 8

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 lim_{x \to 0} x^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

Étape 9

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - lim_{x \to 0} 12 x^{3}}$

Étape 10

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 lim_{x \to 0} x^{3}}$

Étape 11

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 lim_{x \to 0} x + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 {(lim_{x \to 0} x)}^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 12.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 {(lim_{x \to 0} x)}^{3}}$

Étape 12.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{4} + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0 + 3 \cdot 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.1.2

Multipliez $3$ par $0$ .

$\frac{0 + 0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0 + 2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.1.4

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{2}{5 - 9 \cdot 0^{2} - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{5 - 9 \cdot 0 - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.2.2

Multipliez $- 9$ par $0$ .

$\frac{2}{5 + 0 - 12 \cdot 0^{3}}$

Étape 13.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{2}{5 + 0 - 12 \cdot 0}$

Étape 13.2.4

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$\frac{2}{5 + 0 + 0}$

Étape 13.2.5

Additionnez $5 + 0$ et $0$ .

$\frac{2}{5 + 0}$

Étape 13.2.6

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{2}{5}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{5}$

Forme décimale :

$0.4$