Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (x)}{3} + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.2

Placez le terme $\frac{5}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{3} lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Étape 1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \frac{2}{1 - \cos (x)}$

Étape 2

Comme le numérateur est positif et le dénominateur $1 - \cos (x)$ approche de zéro et est supérieur à zéro pour $x$ près de $0$ des deux côtés, la fonction augmente sans borne.

$\frac{5}{3} \sin (lim_{x \to 0} x) + \infty$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5}{3} \sin (0) + \infty$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{5}{3} \cdot 0 + \infty$

Étape 4.1.2

Multipliez $\frac{5}{3}$ par $0$ .

$0 + \infty$

Étape 4.2

Additionnez $0$ et $\infty$ .

$\infty$