Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\sin (x) + \cos (x)}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + \cos (x)}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 9.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{\sin (\frac{π}{4}) + \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos (\frac{π}{4})}$

Étape 9.2.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{4})$ est $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 9.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}}$

Étape 9.2.4

Réécrivez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2}$ en forme factorisée.

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Étape 9.2.4.1

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 9.2.4.2

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{2}}{2}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 9.2.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{\frac{2 \sqrt{2}}{2}}$

Étape 9.2.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{\frac{\sqrt{2}}{1}}$

Étape 9.2.4.2.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{2}}$

Étape 9.3

Divisez $0$ par $\sqrt{2}$ .

$0$