Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1 - \tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \tan (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{4})$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \cot (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{4})}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{\cot (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{1 - \tan (x)}{\cot (2 x)} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{0 - \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\sec^{2} (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (2 x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- \csc^{2} (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x) \cdot 1}$

Étape 1.3.10

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{- 2 \csc^{2} (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{- \sec^{2} (x)}{\csc^{2} (2 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} - \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Étape 2.3

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \sec (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc^{2} (2 x)}$

Étape 2.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\csc^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{{(lim_{x \to \frac{π}{4}} \csc (2 x))}^{2}}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} 2 x)}$

Étape 2.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{4}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{4}$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 2} \cdot \frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{\csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Associez.

$\frac{1 (- \sec^{2} (\frac{π}{4}))}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{4})}$

Étape 4.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 (2)})}$

Étape 4.3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (2 \frac{π}{2 \cdot 2})}$

Étape 4.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \csc^{2} (\frac{π}{2})}$

Étape 4.3.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1^{2}}$

Étape 4.3.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- \sec^{2} (\frac{π}{4})}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

La valeur exacte de $\sec (\frac{π}{4})$ est $\frac{2}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.2

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.4.3.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.3.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.3.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.3.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- {(\frac{2 \sqrt{2}}{2})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.4.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\frac{- {\sqrt{2}}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.4.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2^{\frac{2}{2}}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2^{1}}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.4.5.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2 \cdot 1}$

Étape 4.5

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 2}{- 2}$

Étape 4.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{- 2}{- 2}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $- 2$ .

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 2}{- 2}$

Étape 4.7.2

Réécrivez l’expression.

$1$