Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (x \cdot \frac{2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2}{2} - (\frac{π}{2}))}{2 x - π}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{x \cdot 2 - π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.1.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.1.5

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\tan (\frac{1}{2} (π - π))}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{\tan (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.3.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.2.3.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 2.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 2.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{x \cdot 2 - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (\frac{2 \cdot x - π}{2})]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{2 x - π}{2}$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{2 x - π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - π}{2}]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x - π}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \frac{d}{d x} [2 x - π]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- π])}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.10

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.12

Associez $\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$ et $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2}) \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.13

Déplacez $2$ à gauche de $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \cdot \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.14

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.14.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.14.2

Divisez $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Étape 2.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 2.3.16

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 2.3.16.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 2.3.16.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 2.3.16.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 2.3.17

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2 + 0}$

Étape 2.3.18

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})}{2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$

Étape 3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (\frac{2 x - π}{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{2} {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sec (\frac{2 x - π}{2}))}^{2}$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 x - π}{2})$

Étape 3.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π)$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Étape 3.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π))$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π))$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (2 \frac{π}{2} - π))$

Étape 5.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} (π - π))$

Étape 5.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \sec^{2} (0)$

Étape 5.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1^{2}$

Étape 5.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$