Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\tan (5 x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (5 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (4 x)}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 1.2

Réécrivez $\tan (4 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}}{\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}}$

Étape 1.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (5 x)}{\cos (5 x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)} \cdot \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Convertissez de $\frac{\sin (4 x)}{\cos (4 x)}$ à $\tan (4 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$

Étape 1.4.2

Convertissez de $\frac{\cos (5 x)}{\sin (5 x)}$ à $\cot (5 x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cot (5 x)$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\tan (lim_{x \to \frac{π}{2}} 4 x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Étape 4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (5 x)$

Étape 5

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} 5 x)$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\tan (4 lim_{x \to \frac{π}{2}} x) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\tan (4 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.1.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\tan (2 (2) \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8.1.2

Annulez le facteur commun.

$\tan (2 \cdot 2 \frac{π}{2}) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8.1.3

Réécrivez l’expression.

$\tan (2 π) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\tan (0) \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$0 \cdot \cot (5 \frac{π}{2})$

Étape 8.4

Associez $5$ et $\frac{π}{2}$ .

$0 \cdot \cot (\frac{5 π}{2})$

Étape 8.5

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$0 \cdot \cot (\frac{π}{2})$

Étape 8.6

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$0 \cdot 0$

Étape 8.7

Multipliez $0$ par $0$ .

$0$