Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{x - \frac{π}{2}}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π)}{\frac{x \cdot 2 - π}{2}}$

Étape 2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (2 π) \frac{2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 2.2

Associez $\tan (2 π)$ et $\frac{2}{x \cdot 2 - π}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π) \cdot 2}{x \cdot 2 - π}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \tan (2 π) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite de $\tan (2 π) \cdot 2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\tan (2 π) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Étape 3.1.2.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.2.1

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\tan (0) \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Étape 3.1.2.2.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0 \cdot 2}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Étape 3.1.2.2.3

Multipliez $0$ par $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - π}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Étape 3.1.3.1.3

Évaluez la limite de $π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Étape 3.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 3.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Étape 3.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π - π}$

Étape 3.1.3.3.2

Soustrayez $π$ de $π$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\tan (2 π) \cdot 2}{x \cdot 2 - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 π) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (2 π) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (0) \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [0 \cdot 2]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $0$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [0]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3.5

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - π]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cdot 2 - π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Étape 3.3.7.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.7.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Étape 3.3.8

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2 + 0}$

Étape 3.3.9

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{2}$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 (0)}{2}$

Étape 3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{2 \cdot 0}{2 \cdot 1}$

Étape 3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0}{1}$

Étape 3.4.2.4

Divisez $0$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} 0$

Étape 4

Évaluez la limite de $0$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$0$