Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{2 \cot (x)}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\csc (\frac{π}{2}) - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\cot (\frac{π}{2})}$

Étape 2.1.3.3

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) - 1}{\cot (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x) - 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\csc (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\csc (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x) + 0}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Additionnez $- \csc (x) \cot (x)$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \csc (x) \cot (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{\frac{d}{d x} [\cot (x)]}$

Étape 2.3.6

La dérivée de $\cot (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \cot (x) \csc (x)}{- \csc^{2} (x)}$

Étape 2.4

Réduisez.

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Étape 2.4.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x) \csc (x)}{\csc^{2} (x)}$

Étape 2.4.2

Annulez le facteur commun à $\csc (x)$ et $\csc^{2} (x)$ .

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\cot (x) \csc (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc^{2} (x)}$

Étape 2.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.2.1

Factorisez $\csc (x)$ à partir de $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Étape 2.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\csc (x) \cot (x)}{\csc (x) \csc (x)}$

Étape 2.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cot (x)}{\csc (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cot (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 3.2

Move the limit inside the trig function because cotangent is continuous.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \csc (x)}$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la cosécante est continue.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2})}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\cot (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{\csc (\frac{π}{2})}$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\csc (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{1}$

Étape 5.3

Divisez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 0$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$0$