Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - \frac{π}{2}} \frac{\cos (8 x)}{2 x - \sin (\cos (x))}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} 8 x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Étape 3

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - \sin (\cos (x))}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- \frac{π}{2}$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to - \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Étape 5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - lim_{x \to - \frac{π}{2}} \sin (\cos (x))}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (lim_{x \to - \frac{π}{2}} \cos (x))}$

Étape 7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (8 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x)}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $- \frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 lim_{x \to - \frac{π}{2}} x - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (lim_{x \to - \frac{π}{2}} x))}$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- \frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\cos (8 (- \frac{π}{2}))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 9.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{\cos (8 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{\cos (2 (4) \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (2 \cdot 4 \frac{- π}{2})}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (4 (- π))}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{\cos (- 4 π)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.3

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{\cos (0)}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2 (- \frac{π}{2}) - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 9.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{π}{2}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 \frac{- π}{2} - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (- \frac{π}{2}))}$

Étape 9.2.2

Ajoutez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{3 π}{2}))}$

Étape 9.2.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{- π - \sin (\cos (\frac{π}{2}))}$

Étape 9.2.4

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{- π - \sin (0)}$

Étape 9.2.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{- π - 0}$

Étape 9.2.6

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{- π + 0}$

Étape 9.2.7

Additionnez $- π$ et $0$ .

$\frac{1}{- π}$

Étape 9.3

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 9.3.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{- π}$

Étape 9.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{π}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{π}$

Forme décimale :

$- 0.31830988 \dots$