Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{x + \frac{π}{2}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1}{\sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sqrt{\sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 5

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - lim_{x \to \frac{π}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 8

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{π}{2}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $\frac{π}{2}$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x + \frac{π}{2}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

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Étape 11.1.1

Multipliez $\frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$ par $\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2} \cdot \frac{\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1}{\frac{π}{2} + \frac{π}{2}}$

Étape 11.1.2

Associez.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} - 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (\frac{π}{2} + \frac{π}{2})}$

Étape 11.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3

Simplifiez en annulant.

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Étape 11.3.1

Annulez le facteur commun de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ .

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Étape 11.3.1.1

Factorisez $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}$ à partir de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} (2) \frac{1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})}} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.1.2

Annulez le facteur commun.

Étape 11.3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2} + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 11.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2$ .

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + 2 \cdot \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \frac{π}{2}}$

Étape 11.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.4.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{2 + \sqrt{1} \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{2 + 1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4.3

Multipliez $1 \cdot 2 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 11.4.3.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 (- 1 \cdot 1)}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.4.4

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.5.1

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.5.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{1 π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.5.3

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{\sin (\frac{π}{2})} π}$

Étape 11.5.4

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$\frac{0}{π + \sqrt{1} π}$

Étape 11.5.5

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{π + 1 π}$

Étape 11.5.6

Multipliez $π$ par $1$ .

$\frac{0}{π + π}$

Étape 11.5.7

Additionnez $π$ et $π$ .

$\frac{0}{2 π}$

Étape 11.6

Annulez le facteur commun à $0$ et $2$ .

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Étape 11.6.1

Factorisez $2$ à partir de $0$ .

$\frac{2 (0)}{2 π}$

Étape 11.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.6.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 π$ .

$\frac{2 (0)}{2 (π)}$

Étape 11.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 0}{2 π}$

Étape 11.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{π}$

Étape 11.7

Divisez $0$ par $π$ .

$0$