Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - 8 \cos (x)}{x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} 8 \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 5

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $\frac{π}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} x}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1 - 8 \cos (\frac{π}{2})}{\frac{π}{2}}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cos (\frac{π}{2})) \frac{2}{π})$

Étape 8.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.2.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 - 8 \cdot 0) \frac{2}{π})$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 8$ par $0$ .

$\frac{1}{2} ((1 + 0) \frac{2}{π})$

Étape 8.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{1}{2} (1 \frac{2}{π})$

Étape 8.4

Multipliez $\frac{2}{π}$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 8.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 8.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{π}$

Étape 8.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{π}$

Étape 9

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{π}$

Forme décimale :

$0.31830988 \dots$