Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - \sin^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin^{2} (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1 - {(lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x))}^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1 - \sin^{2} (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1 - \sin^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{\cos^{2} (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{\cos (\frac{π}{2})}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{1 - \sin^{2} (x)}{\cos (x)} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin^{2} (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

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Étape 1.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - (2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - (2 \sin (x) \cos (x))}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{0 - 2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Soustrayez $2 \sin (x) \cos (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- \sin (x)}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x) \sin (x)}{- \sin (x)}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- 2 \cos (x)}{- 1}$

Étape 1.4.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 2 \cos (x)}{- 1}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{2}} - 1 \cdot (- 2 \cos (x))$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- - 2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- - 2 lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 \cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{π}{2}$ pour $x$ .

$2 \cos (\frac{π}{2})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$2 \cdot 0$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$0$