Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \ln (\sin (x))$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{x}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{x}{2}} \tan (x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Étape 2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot lim_{x \to \frac{x}{2}} \ln (\sin (x))$

Étape 3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (lim_{x \to \frac{x}{2}} \sin (x))$

Étape 4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\tan (lim_{x \to \frac{x}{2}} x) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $\frac{x}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{x}{2}$ pour $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (lim_{x \to \frac{x}{2}} x))$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{x}{2}$ pour $x$ .

$\tan (\frac{x}{2}) \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Réécrivez $\tan (\frac{x}{2})$ en termes de sinus et de cosinus.

$\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})} \cdot \ln (\sin (\frac{x}{2}))$

Étape 6.2

Associez $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ et $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ .

$\frac{\sin (\frac{x}{2}) \ln (\sin (\frac{x}{2}))}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 6.3

Séparez les fractions.

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$

Étape 6.4

Convertissez de $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ à $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\ln (\sin (\frac{x}{2}))}{1} \tan (\frac{x}{2})$

Étape 6.5

Divisez $\ln (\sin (\frac{x}{2}))$ par $1$ .

$\ln (\sin (\frac{x}{2})) \tan (\frac{x}{2})$