Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \sqrt{2}} (x^{2} + 3) (x^{2} - 1)$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + 3 \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$(lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Étape 3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \sqrt{2}} 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Étape 4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - 1$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot (lim_{x \to \sqrt{2}} x^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Étape 6

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \sqrt{2}} 1)$

Étape 7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\sqrt{2}$ .

$({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\sqrt{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{2}$ pour $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({(lim_{x \to \sqrt{2}} x)}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\sqrt{2}$ pour $x$ .

$({\sqrt{2}}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$(2^{\frac{2}{2}} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$(2^{1} + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.1.5

Évaluez l’exposant.

$(2 + 3) \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$5 \cdot ({\sqrt{2}}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.3.1

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 9.3.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \cdot ({(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 \cdot (2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot (2^{\frac{2}{2}} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot (2^{1} - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.1.5

Évaluez l’exposant.

$5 \cdot (2 - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$5 \cdot (2 - 1)$

Étape 9.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$5 \cdot 1$

Étape 9.5

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$