Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} {(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3}$ comme $e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(\frac{x - 4}{x - 1})}^{x + 3})$ en déplaçant $x + 3$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 8} e^{(x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 8} (x + 3) \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x + 3 \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2.5

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x - 4}{x - 1})}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1})}$

Étape 2.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 1})}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$e^{(lim_{x \to 8} x + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 1})}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$e^{(8 + 3) \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $8$ et $3$ .

$e^{11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}$

Étape 4.2

Simplifiez $11 \cdot \ln (\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})$ en déplaçant $11$ dans le logarithme.

$e^{\ln ({(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11})}$

Étape 4.3

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

${(\frac{8 - 1 \cdot 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Étape 4.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.4.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

${(\frac{8 - 4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Étape 4.4.2

Soustrayez $4$ de $8$ .

${(\frac{4}{8 - 1 \cdot 1})}^{11}$

Étape 4.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

${(\frac{4}{8 - 1})}^{11}$

Étape 4.5.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

${(\frac{4}{7})}^{11}$

Étape 4.6

Appliquez la règle de produit à $\frac{4}{7}$ .

$\frac{4^{11}}{7^{11}}$

Étape 4.7

Élevez $4$ à la puissance $11$ .

$\frac{4194304}{7^{11}}$

Étape 4.8

Élevez $7$ à la puissance $11$ .

$\frac{4194304}{1977326743}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4194304}{1977326743}$

Forme décimale :

$0.00212119 \dots$