Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + lim_{n \to 8} 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - lim_{n \to 8} \frac{2 n^{2} + 1}{n - 1}$

Étape 9

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Étape 10

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{lim_{n \to 8} 2 n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Étape 11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $n$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 lim_{n \to 8} n^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Étape 12

Déplacez l’exposant $2$ de $n^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + lim_{n \to 8} 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Étape 13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1}$

Étape 14

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - lim_{n \to 8} 1}$

Étape 15

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $n$ approche de $8$ .

$\frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Étape 16

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $n$ .

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Étape 16.1

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Étape 16.2

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 {(lim_{n \to 8} n)}^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Étape 16.3

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{lim_{n \to 8} n - 1 \cdot 1}$

Étape 16.4

Évaluez la limite de $n$ en insérant $8$ pour $n$ .

$\frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17

Simplifiez la réponse.

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Étape 17.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 17.1.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.1.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{2 \cdot 64 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.1.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{128 + 1}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.1.3

Additionnez $128$ et $1$ .

$\frac{129}{8 + 1} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.2

Additionnez $8$ et $1$ .

$\frac{129}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.3

Annulez le facteur commun à $129$ et $9$ .

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Étape 17.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $129$ .

$\frac{3 (43)}{9} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 17.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $9$ .

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot 43}{3 \cdot 3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 8^{2} + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.1.4.1

Élevez $8$ à la puissance $2$ .

$\frac{43}{3} - \frac{2 \cdot 64 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.4.2

Multipliez $2$ par $64$ .

$\frac{43}{3} - \frac{128 + 1}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.4.3

Additionnez $128$ et $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1 \cdot 1}$

Étape 17.1.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 17.1.5.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{8 - 1}$

Étape 17.1.5.2

Soustrayez $1$ de $8$ .

$\frac{43}{3} - \frac{129}{7}$

Étape 17.2

Pour écrire $\frac{43}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7}$

Étape 17.3

Pour écrire $- \frac{129}{7}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43}{3} \cdot \frac{7}{7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 17.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $21$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 17.4.1

Multipliez $\frac{43}{3}$ par $\frac{7}{7}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{3 \cdot 7} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 17.4.2

Multipliez $3$ par $7$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129}{7} \cdot \frac{3}{3}$

Étape 17.4.3

Multipliez $\frac{129}{7}$ par $\frac{3}{3}$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{7 \cdot 3}$

Étape 17.4.4

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{43 \cdot 7}{21} - \frac{129 \cdot 3}{21}$

Étape 17.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{43 \cdot 7 - 129 \cdot 3}{21}$

Étape 17.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 17.6.1

Multipliez $43$ par $7$ .

$\frac{301 - 129 \cdot 3}{21}$

Étape 17.6.2

Multipliez $- 129$ par $3$ .

$\frac{301 - 387}{21}$

Étape 17.6.3

Soustrayez $387$ de $301$ .

$\frac{- 86}{21}$

Étape 17.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{86}{21}$

Étape 18

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{86}{21}$

Forme décimale :

$- 4.\overline{095238}$