Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{5 \cos (x)}{x - (\frac{3 π}{2})}$

Étape 1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x - \frac{3 π}{2}}$

Étape 2

Associez des termes.

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Étape 2.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Étape 2.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{3 π}{2}}$

Étape 2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{\frac{x \cdot 2 - 3 π}{2}}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x) \frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 3.1.2

Associez $\cos (x)$ et $\frac{2}{x \cdot 2 - 3 π}$ .

$5 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x) \cdot 2}{x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$5 \cdot 2 \frac{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3 π}{2}$ pour $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{3 π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$5 \cdot 2 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4.1.2.3.2

La valeur exacte de $\cos (\frac{π}{2})$ est $0$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - 3 π}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Étape 4.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - lim_{x \to \frac{3 π}{2}} 3 π}$

Étape 4.1.3.1.3

Évaluez la limite de $3 π$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{3 π}{2}$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x - 3 π}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3 π}{2}$ pour $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$5 \cdot 2 \frac{0}{2 \frac{3 π}{2} - 3 π}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot 2 \frac{0}{3 π - 3 π}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $3 π$ de $3 π$ .

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$5 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\cos (x)}{x \cdot 2 - 3 π} = lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Étape 4.3.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2 - 3 π]}$

Étape 4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cdot 2 - 3 π$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cdot 2] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cdot 2]$ .

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Étape 4.3.4.1

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 \cdot x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Étape 4.3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Étape 4.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Étape 4.3.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- 3 π]}$

Étape 4.3.5

Comme $- 3 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Étape 4.3.6

Additionnez $2$ et $0$ .

$5 \cdot 2 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} lim_{x \to \frac{3 π}{2}} - \sin (x)$

Étape 5.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to \frac{3 π}{2}} \sin (x)$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{3 π}{2}} x)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3 π}{2}$ pour $x$ .

$5 \cdot 2 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $5$ par $2$ .

$10 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $10$ .

$2 (5) \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot 5 \frac{1}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.2.3

Réécrivez l’expression.

$5 \cdot - 1 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.3

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$- 5 \sin (\frac{3 π}{2})$

Étape 7.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le sinus est négatif dans le quatrième quadrant.

$- 5 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Étape 7.5

La valeur exacte de $\sin (\frac{π}{2})$ est $1$ .

$- 5 (- 1 \cdot 1)$

Étape 7.6

Multipliez $- 5 (- 1 \cdot 1)$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 5 \cdot - 1$

Étape 7.6.2

Multipliez $- 5$ par $- 1$ .

$5$