Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - 3 x^{2} - 4 x + 2$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{3}{2}} 2 x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 3

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 3 x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 4

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 lim_{x \to \frac{3}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{3}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 6

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + lim_{x \to \frac{3}{2}} 2$

Étape 7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{3}{2}$ .

$2 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Étape 8

Évaluez les limites en insérant $\frac{3}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(lim_{x \to \frac{3}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Étape 8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{3}{2}} x + 2$

Étape 8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{3}{2}$ pour $x$ .

$2 {(\frac{3}{2})}^{3} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2^{3}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2^{3}$ .

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{3^{3}}{2 \cdot 2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3^{3}}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.3

Élevez $3$ à la puissance $3$ .

$\frac{27}{2^{2}} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.4

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 {(\frac{3}{2})}^{2} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.5

Appliquez la règle de produit à $\frac{3}{2}$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{3^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.6

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 \frac{9}{2^{2}} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.7

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{27}{4} - 3 (\frac{9}{4}) - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.8

Multipliez $- 3 (\frac{9}{4})$ .

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Étape 9.1.8.1

Associez $- 3$ et $\frac{9}{4}$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 3 \cdot 9}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.8.2

Multipliez $- 3$ par $9$ .

$\frac{27}{4} + \frac{- 27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 4 (\frac{3}{2}) + 2$

Étape 9.1.10

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 9.1.10.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 (- 2) \frac{3}{2} + 2$

Étape 9.1.10.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} + 2 \cdot - 2 \frac{3}{2} + 2$

Étape 9.1.10.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 2 \cdot 3 + 2$

Étape 9.1.11

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{27}{4} - \frac{27}{4} - 6 + 2$

Étape 9.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- 6 + 2 + \frac{27 - 27}{4}$

Étape 9.3

Soustrayez $27$ de $27$ .

$- 6 + 2 + \frac{0}{4}$

Étape 9.4

Déterminez le dénominateur commun.

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Étape 9.4.1

Écrivez $- 6$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 6}{1} + 2 + \frac{0}{4}$

Étape 9.4.2

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6}{1} \cdot \frac{4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Étape 9.4.3

Multipliez $\frac{- 6}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + 2 + \frac{0}{4}$

Étape 9.4.4

Écrivez $2$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} + \frac{0}{4}$

Étape 9.4.5

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{0}{4}$

Étape 9.4.6

Multipliez $\frac{2}{1}$ par $\frac{4}{4}$ .

$\frac{- 6 \cdot 4}{4} + \frac{2 \cdot 4}{4} + \frac{0}{4}$

Étape 9.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 6 \cdot 4 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 9.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 9.6.1

Multipliez $- 6$ par $4$ .

$\frac{- 24 + 2 \cdot 4}{4}$

Étape 9.6.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{- 24 + 8}{4}$

Étape 9.7

Additionnez $- 24$ et $8$ .

$\frac{- 16}{4}$

Étape 9.8

Divisez $- 16$ par $4$ .

$- 4$