Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{3}}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - \tan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (0) - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.5.1.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x)}{\sin (x) - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 u^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.5

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.2

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{\sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{\sin^{2} (0) \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.6.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \frac{0^{2} \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.6.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{0 \cdot \cos (0)}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.6.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.2.6.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 3.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 3.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$3 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{\cos (0) - \sec^{2} (0)}$

Étape 3.1.3.6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Étape 3.1.3.6.1.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1^{2}}$

Étape 3.1.3.6.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.6.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.6.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 3.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cos (x)}{\cos (x) - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin^{2} (x) \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sin^{2} (x)$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.3

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{2} (x) \cdot - 1 \sin (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.4

Multipliez $\sin^{2} (x)$ par $\sin (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Déplacez $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.4.2

Multipliez $\sin (x)$ par $\sin^{2} (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.2.1

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{1} (x) \sin^{2} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{{\sin (x)}^{1 + 2} \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.4.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\sin^{3} (x) \cdot - 1 + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.5

Déplacez $- 1$ à gauche de $\sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 1 \cdot \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.6

Réécrivez $- 1 \sin^{3} (x)$ comme $- \sin^{3} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d x} [\sin^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + \cos (x) \cdot 2 \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.8

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cdot \cos (x) \sin (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.9

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos (x) \sin (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.10

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.11

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{1} (x) \cos^{1} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.12

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.13

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- \sin^{3} (x) + 2 \cos^{2} (x) \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.16

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.17

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.17.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Étape 3.3.17.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.17.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.3.17.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.3.17.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}$

Étape 3.3.17.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)}$

Étape 3.3.17.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)}$

Étape 3.3.17.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)}$

Étape 3.3.17.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)}$

Étape 3.3.17.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 1 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Étape 3.3.17.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- \sin (x) - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Étape 3.3.18

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} 2 \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{2 lim_{x \to 0} \cos^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin^{3} (x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.7

Déplacez l’exposant $3$ de $\sin^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{2 \cos^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{2 \cos^{2} (0) \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.10.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \frac{2 \cdot 1^{2} \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{2 \cdot 1 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 \frac{2 \cdot \sin (0) - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \frac{2 \cdot 0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.5

Multipliez $2$ par $0$ .

$3 \frac{0 - \sin^{3} (0)}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \frac{0 - 0^{3}}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.1.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 \frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.2.10.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} - 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{- lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{0}{- 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.8

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.8.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{- 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.9.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.3.9.1.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 1 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9.1.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot \tan (0) - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9.1.4

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$3 \frac{0}{- 2 \cdot 0 - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9.1.5

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$3 \frac{0}{0 - \sin (0)}$

Étape 4.1.3.9.1.6

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 \frac{0}{0 - 0}$

Étape 4.1.3.9.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$3 \frac{0}{0 + 0}$

Étape 4.1.3.9.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 4.1.3.9.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 4.1.3.10

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \cos^{2} (x) \sin (x) - \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \cos^{2} (x) \sin (x)$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos^{2} (x)$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.5

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.6

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.6.1

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.3.6.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{2} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.6.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 ({\cos (x)}^{2 + 1} + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.6.2

Additionnez $2$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot 2 \cos (x) \cdot - 1 \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.7

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) + \sin (x) \cdot - 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.8

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.9

Élevez $\sin (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.10

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.3.11

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin^{3} (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin^{3} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin^{3} (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\sin (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 1 \cdot 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.4.4

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (\cos^{3} (x) - 2 \cos (x) \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) + 2 \cdot - 2 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.5.2.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \cos (x) \sin^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.2.2

Réorganisez les facteurs de $- 4 \cos (x) \sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 4 \sin^{2} (x) \cos (x) - 3 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.2.3

Soustrayez $3 \sin^{2} (x) \cos (x)$ de $- 4 \sin^{2} (x) \cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 \cos^{3} (x) - 7 \sin^{2} (x) \cos (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)]}$

Étape 4.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x) \tan (x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \sec^{2} (x)$ et $g (x) = \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.5

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{2} (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.6

Multipliez $\sec^{2} (x)$ par $\sec^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.7.6.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 ({\sec (x)}^{2 + 2} + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.6.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.7

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.8

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{1} (x) \sec^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.9

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.10

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + \tan (x) \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.11

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.12

Élevez $\tan (x)$ à la puissance $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.13

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) {\tan (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.7.14

Additionnez $1$ et $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3.8.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 (\sec^{4} (x) + 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x)) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 2 \cdot 2 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 2 \sec^{4} (x) - 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \sec^{2} (x) \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.9.4.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- 4 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.4

Associez $- 4$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \tan^{2} (x) - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.6

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} {(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.7

Appliquez la règle de produit à $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.8

Multipliez $- \frac{4}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.9.4.8.1

Multipliez $\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)}$ par $\frac{4}{\cos^{2} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.8.2

Multipliez $\cos^{2} (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.9.4.8.2.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{{\cos (x)}^{2 + 2}} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.8.2.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{\sin^{2} (x) \cdot 4}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.9

Déplacez $4$ à gauche de $\sin^{2} (x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \cdot \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \sec^{4} (x) - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.10

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{4} - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.11

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1^{4}}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.12

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - 2 \frac{1}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.13

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} + \frac{- 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Étape 4.3.9.4.14

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{- \frac{4 \sin^{2} (x)}{\cos^{4} (x)} - \frac{2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Étape 4.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.4.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x)}$

Étape 4.4.2

Pour écrire $- \cos (x)$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} - \cos (x) \cdot \frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 4.4.3

Associez $- \cos (x)$ et $\frac{\cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2}{\cos^{4} (x)} + \frac{- \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 4.4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 lim_{x \to 0} \frac{- 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{lim_{x \to 0} - 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- lim_{x \to 0} 7 \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- 7 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.5

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{- 7 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.9

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \frac{- 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{\cos^{4} (x)}}$

Étape 5.11

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{lim_{x \to 0} - 4 \sin^{2} (x) - 2 - \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- lim_{x \to 0} 4 \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.13

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 lim_{x \to 0} \sin^{2} (x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.14

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 {(lim_{x \to 0} \sin (x))}^{2} - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.15

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.16

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.17

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - lim_{x \to 0} \cos (x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.18

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.19

Déplacez l’exposant $4$ de $\cos^{4} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{4}}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.20

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos^{4} (x)}}$

Étape 5.21

Déplacez l’exposant $4$ de $\cos^{4} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

Étape 5.22

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

Étape 6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (lim_{x \to 0} x) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (lim_{x \to 0} x)}}$

Étape 6.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)}{\frac{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)}{\cos^{4} (0)}}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{\cos^{4} (0)}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1^{4}}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \sin^{2} (0) - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.3

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0^{2} - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 4 \cdot 0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.3.3

Multipliez $- 4$ par $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 1 \cdot 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.3.4

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos (0) \cdot \cos^{4} (0)})$

Étape 7.3.5

Multipliez $\cos (0)$ par $\cos^{4} (0)$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.1

Déplacez $\cos^{4} (0)$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos (0))})$

Étape 7.3.5.2

Multipliez $\cos^{4} (0)$ par $\cos (0)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.5.2.1

Élevez $\cos (0)$ à la puissance $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - (\cos^{4} (0) \cos^{1} (0))})$

Étape 7.3.5.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - {\cos (0)}^{4 + 1}})$

Étape 7.3.5.3

Additionnez $4$ et $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - \cos^{5} (0)})$

Étape 7.3.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1^{5}})$

Étape 7.3.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1 \cdot 1})$

Étape 7.3.8

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{0 - 2 - 1})$

Étape 7.3.9

Soustrayez $2$ de $0$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 2 - 1})$

Étape 7.3.10

Soustrayez $1$ de $- 2$ .

$3 ((- 7 \sin^{2} (0) \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0^{2} \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 ((- 7 \cdot 0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.3

Multipliez $- 7$ par $0$ .

$3 ((0 \cdot \cos (0) + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 ((0 \cdot 1 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$3 ((0 + 2 \cos^{3} (0)) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 ((0 + 2 \cdot 1^{3}) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 ((0 + 2 \cdot 1) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.4.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$3 ((0 + 2) \frac{1}{- 3})$

Étape 7.5

Additionnez $0$ et $2$ .

$3 (2 (\frac{1}{- 3}))$

Étape 7.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 (2 (- \frac{1}{3}))$

Étape 7.7

Multipliez $2 (- \frac{1}{3})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$3 (- 2 (\frac{1}{3}))$

Étape 7.7.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$3 (\frac{- 2}{3})$

Étape 7.8

Annulez le facteur commun de $3$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.8.1

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{- 2}{3})$

Étape 7.8.2

Réécrivez l’expression.

$- 2$