Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to (- 8)} \frac{4 + 6 e^{2 x}}{5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $(- 8)$ .

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $(- 8)$ .

$\frac{lim_{x \to (- 8)} 4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $(- 8)$ .

$\frac{4 + lim_{x \to (- 8)} 6 e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 6 lim_{x \to (- 8)} e^{2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 5

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{4 + 6 e^{lim_{x \to (- 8)} 2 x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - 9 e^{3 x}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $(- 8)$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{lim_{x \to (- 8)} 5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Étape 8

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $(- 8)$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - lim_{x \to (- 8)} 9 e^{3 x}}$

Étape 9

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 lim_{x \to (- 8)} e^{3 x}}$

Étape 10

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{lim_{x \to (- 8)} 3 x}}$

Étape 11

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 lim_{x \to (- 8)} x}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Étape 12

Évaluez les limites en insérant $(- 8)$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 12.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $(- 8)$ pour $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 lim_{x \to (- 8)} x}}$

Étape 12.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $(- 8)$ pour $x$ .

$\frac{4 + 6 e^{2 (- 8)}}{5 - 9 e^{3 (- 8)}}$

Étape 13

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 13.1.1

Multipliez $2$ par $- 8$ .

$\frac{4 + 6 e^{- 16}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Étape 13.1.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 + 6 \frac{1}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Étape 13.1.3

Associez $6$ et $\frac{1}{e^{16}}$ .

$\frac{4 + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Étape 13.1.4

Pour écrire $4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{16}}{e^{16}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16}}{e^{16}} + \frac{6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Étape 13.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{3 \cdot - 8}}$

Étape 13.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 13.2.1

Multipliez $3$ par $- 8$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 e^{- 24}}$

Étape 13.2.2

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - 9 \frac{1}{e^{24}}}$

Étape 13.2.3

Associez $- 9$ et $\frac{1}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 + \frac{- 9}{e^{24}}}$

Étape 13.2.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{5 - \frac{9}{e^{24}}}$

Étape 13.2.5

Pour écrire $5$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{24}}{e^{24}}$ .

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24}}{e^{24}} - \frac{9}{e^{24}}}$

Étape 13.2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}}}{\frac{5 e^{24} - 9}{e^{24}}}$

Étape 13.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{24}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.4

Annulez le facteur commun de $e^{16}$ .

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Étape 13.4.1

Factorisez $e^{16}$ à partir de $e^{24}$ .

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{4 e^{16} + 6}{e^{16}} \cdot \frac{e^{16} e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.4.3

Réécrivez l’expression.

$(4 e^{16} + 6) \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.5

Appliquez la propriété distributive.

$4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.6

Multipliez $4 e^{16} \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

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Étape 13.6.1

Associez $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ et $4$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} e^{16} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.6.2

Associez $\frac{e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9}$ et $e^{16}$ .

$\frac{e^{8} \cdot 4 e^{16}}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.6.3

Multipliez $e^{8}$ par $e^{16}$ en additionnant les exposants.

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Étape 13.6.3.1

Déplacez $e^{16}$ .

$\frac{e^{16} e^{8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.6.3.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{e^{16 + 8} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.6.3.3

Additionnez $16$ et $8$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + 6 \frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.7

Associez $6$ et $\frac{e^{8}}{5 e^{24} - 9}$ .

$\frac{e^{24} \cdot 4}{5 e^{24} - 9} + \frac{6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{e^{24} \cdot 4 + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 13.9

Déplacez $4$ à gauche de $e^{24}$ .

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Étape 14

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{4 e^{24} + 6 e^{8}}{5 e^{24} - 9}$

Forme décimale :

$0.80000013 \dots$