Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(x \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 1.2

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(\frac{x \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}) (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{x \cdot 2 - 1}{2} \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - 1 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} x \cdot 2 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + x - 2}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.7

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.8

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.9

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.10

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.11.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.11.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.11.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{1}{2} (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1 \cdot 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} (1 - 1) \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{1}{2} \cdot 0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{0 \cdot (6 {(\frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.11.4.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0 \cdot (6 \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0 \cdot (6 (\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.2.11.4.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{0 \cdot (2 (3) \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{0 \cdot (2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{0 \cdot (3 (\frac{1}{2}) + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.5

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.4.6

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{0 \cdot (\frac{3}{2} + \frac{1}{2} - 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{3 + 1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + \frac{4}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.7

Divisez $4$ par $2$ .

$\frac{0 \cdot (- 2 + 2)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.8

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.2.11.9

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - 4 x + 1}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 2.1.3.2

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 2.1.3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 2.1.3.4

Placez le terme $4$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}$

Étape 2.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{0}{4 {(\frac{1}{2})}^{2} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.7.1.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 \frac{1^{2}}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{4 \frac{1}{2^{2}} - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 2.1.3.7.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{4 (\frac{1}{4}) - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1 - 4 (\frac{1}{2}) + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.1.3.7.1.5.1

Factorisez $2$ à partir de $- 4$ .

$\frac{0}{1 + 2 (- 2) \frac{1}{2} + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{0}{1 + 2 \cdot - 2 \frac{1}{2} + 1}$

Étape 2.1.3.7.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{0}{1 - 2 + 1}$

Étape 2.1.3.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 2.1.3.7.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)}{4 x^{2} - 4 x + 1} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{x \cdot 2 - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2} (6 x^{2} + x - 2)]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \frac{2 x - 1}{2}$ et $g (x) = 6 x^{2} + x - 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{2} + x - 2] + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{2} + x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{2}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (6 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.7

Multipliez $2$ par $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 2]) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.9

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1 + 0) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.10

Additionnez $12 x + 1$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{d}{d x} [\frac{2 x - 1}{2}]}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.11

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{2 x - 1}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [2 x - 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.12

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.13

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.15

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.16

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} (2 + 0)}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.17

Additionnez $2$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{1}{2} \cdot 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.18

Associez $2$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.19

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.19.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.19.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + (6 x^{2} + x - 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.20

Multipliez $6 x^{2} + x - 2$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x + 1) + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21

Simplifiez

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Étape 2.3.21.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x - 1}{2} (12 x) + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.21.2.1

Associez $12$ et $\frac{2 x - 1}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1)}{2} x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.2

Associez $\frac{12 (2 x - 1)}{2}$ et $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.3

Annulez le facteur commun à $12$ et $2$ .

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Étape 2.3.21.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $12 (2 x - 1) x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.21.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 (1)} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 (6 (2 x - 1) x)}{2 \cdot 1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x}{1} + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.3.2.4

Divisez $6 (2 x - 1) x$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} \cdot 1 + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.4

Multipliez $\frac{2 x - 1}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.5

Pour écrire $6 (2 x - 1) x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{6 (2 x - 1) x \cdot \frac{2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.6

Associez $6 (2 x - 1) x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2}{2} + \frac{2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{6 (2 x - 1) x \cdot 2 + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.8

Multipliez $2$ par $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.9

Pour écrire $6 x^{2}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + 6 x^{2} \cdot \frac{2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.10

Associez $6 x^{2}$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1}{2} + \frac{6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 6 x^{2} \cdot 2}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.12

Multipliez $2$ par $6$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.13

Pour écrire $x$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + x \cdot \frac{2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.14

Associez $x$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.15

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + x \cdot 2}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.16

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 2 x - 1 + 12 x^{2} + 2 \cdot x}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.17

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.18

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.19

Associez $- 2$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2}}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.20

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 2 \cdot 2}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.21

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x - 1 + 12 x^{2} - 4}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.2.22

Soustrayez $4$ de $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 (2 x - 1) x + 4 x + 12 x^{2} - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x - 1) + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.21.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 x (2 x) + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x + 12 x \cdot - 1 + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.3

Multipliez $- 1$ par $12$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x \cdot x - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.21.4.4.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.21.4.4.1.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 (x \cdot x) - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 12 \cdot 2 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.4.2

Multipliez $12$ par $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{12 x^{2} + 24 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.5

Additionnez $12 x^{2}$ et $24 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 12 x + 4 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.6

Additionnez $- 12 x$ et $4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7

Factorisez par regroupement.

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Étape 2.3.21.4.7.1

Pour un polynôme de la forme $a x^{2} + b x + c$ , réécrivez le point milieu comme la somme de deux termes dont le produit est $a \cdot c = 36 \cdot - 5 = - 180$ et dont la somme est $b = - 8$ .

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Étape 2.3.21.4.7.1.1

Factorisez $- 8$ à partir de $- 8 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} - 8 (x) - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7.1.2

Réécrivez $- 8$ comme $10$ plus $- 18$

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + (10 - 18) x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{36 x^{2} + 10 x - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

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Étape 2.3.21.4.7.2.1

Regroupez les deux premiers termes et les deux derniers termes.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(36 x^{2} + 10 x) - 18 x - 5}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7.2.2

Factorisez le plus grand facteur commun à partir de chaque groupe.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{2 x (18 x + 5) - (18 x + 5)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.21.4.7.3

Factorisez le polynôme en factorisant le plus grand facteur commun, $18 x + 5$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 4 x + 1]}$

Étape 2.3.22

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x^{2} - 4 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.23

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.23.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{2}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.23.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.23.3

Multipliez $2$ par $4$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.24

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Étape 2.3.24.1

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4 x$ par rapport à $x$ est $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.24.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.24.3

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 2.3.25

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4 + 0}$

Étape 2.3.26

Additionnez $8 x - 4$ et $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}}{8 x - 4}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2} \cdot \frac{1}{8 x - 4}$

Étape 2.5

Multipliez $\frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2}$ par $\frac{1}{8 x - 4}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{2 (8 x - 4)}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} (18 x + 5) (2 x - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + 5 \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(lim_{x \to \frac{1}{2}} 18 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.3

Placez le terme $18$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.4

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.8

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.8.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.8.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(18 (\frac{1}{2}) + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.1.1

Factorisez $2$ à partir de $18$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 (9) \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(2 \cdot 9 \frac{1}{2} + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{(9 + 5) \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.2

Additionnez $9$ et $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.2.9.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.2.9.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (2 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.3.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot (1 - 1)}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{14 \cdot 0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.2.9.5

Multipliez $14$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - 4}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 8 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Étape 4.1.3.1.2

Placez le terme $8$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 4}$

Étape 4.1.3.1.3

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{8 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.1.3.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 (4) \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{2 \cdot 4 \frac{1}{2} - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Étape 4.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{4 - 4}$

Étape 4.1.3.3.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 x - 1)}{8 x - 4} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [(18 x + 5) (2 x - 1)]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = 18 x + 5$ et $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \frac{d}{d x} [2 x - 1] + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.6

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) (2 + 0) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.8

Additionnez $2$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{(18 x + 5) \cdot 2 + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $18 x + 5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot (18 x + 5) + (2 x - 1) \frac{d}{d x} [18 x + 5]}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.10

Selon la règle de la somme, la dérivée de $18 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (\frac{d}{d x} [18 x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.11

Comme $18$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $18 x$ par rapport à $x$ est $18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.13

Multipliez $18$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + \frac{d}{d x} [5])}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.14

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) (18 + 0)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.15

Additionnez $18$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + (2 x - 1) \cdot 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.16

Déplacez $18$ à gauche de $2 x - 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (18 x + 5) + 18 \cdot (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17

Simplifiez

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Étape 4.3.17.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 (2 x - 1)}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 \cdot 18 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.17.3.1

Multipliez $18$ par $2$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 2 \cdot 5 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 18 \cdot 2 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3.3

Multipliez $2$ par $18$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x + 18 \cdot - 1}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3.4

Multipliez $18$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{36 x + 10 + 36 x - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3.5

Additionnez $36 x$ et $36 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x + 10 - 18}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.17.3.6

Soustrayez $18$ de $10$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x - 4]}$

Étape 4.3.18

Selon la règle de la somme, la dérivée de $8 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{\frac{d}{d x} [8 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 4.3.19

Évaluez $\frac{d}{d x} [8 x]$ .

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Étape 4.3.19.1

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 4.3.19.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 4.3.19.3

Multipliez $8$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Étape 4.3.20

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8 + 0}$

Étape 4.3.21

Additionnez $8$ et $0$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{72 x - 8}{8}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $72 x - 8$ et $8$ .

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Étape 4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $72 x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x - 8}{8}$

Étape 4.4.2

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 \cdot 9 x + 8 \cdot - 1}{8}$

Étape 4.4.3

Factorisez $8$ à partir de $8 (9 x) + 8 (- 1)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8}$

Étape 4.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.4.4.1

Factorisez $8$ à partir de $8$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 (1)}$

Étape 4.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{8 (9 x - 1)}{8 \cdot 1}$

Étape 4.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{9 x - 1}{1}$

Étape 4.4.4.4

Divisez $9 x - 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - 1$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (lim_{x \to \frac{1}{2}} 9 x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Étape 5.2

Placez le terme $9$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - lim_{x \to \frac{1}{2}} 1)$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (9 lim_{x \to \frac{1}{2}} x - 1 \cdot 1)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} (9 (\frac{1}{2}) - 1 \cdot 1)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Associez $9$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot 1)$

Étape 7.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1)$

Étape 7.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})$

Étape 7.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})$

Étape 7.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 1 \cdot 2}{2}$

Étape 7.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 7.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{9 - 2}{2}$

Étape 7.5.2

Soustrayez $2$ de $9$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$

Étape 7.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Étape 7.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2 \cdot 2}$

Étape 7.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{7}{4}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{7}{4}$

Forme décimale :

$1.75$