Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 x + 1}{6 x^{2} + 3 x}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Étape 4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + 3 x}$

Étape 5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 6 x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Étape 6

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Étape 7

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + lim_{x \to \frac{1}{2}} 3 x}$

Étape 8

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Étape 9

Évaluez les limites en insérant $\frac{1}{2}$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Étape 9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $\frac{1}{2}$ pour $x$ .

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10

Simplifiez la réponse.

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Étape 10.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 10.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (\frac{1}{2}) + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 + 1}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.1.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{6 {(\frac{1}{2})}^{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 10.2.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{6 \frac{1^{2}}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{2}{6 \frac{1}{2^{2}} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\frac{2}{6 (\frac{1}{4}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 10.2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $6$ .

$\frac{2}{2 (3) \frac{1}{4} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.4.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2 \cdot 3 \frac{1}{2 \cdot 2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{2}{3 (\frac{1}{2}) + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.5

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + 3 (\frac{1}{2})}$

Étape 10.2.6

Associez $3$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{\frac{3}{2} + \frac{3}{2}}$

Étape 10.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{2}{\frac{3 + 3}{2}}$

Étape 10.2.8

Additionnez $3$ et $3$ .

$\frac{2}{\frac{6}{2}}$

Étape 10.2.9

Divisez $6$ par $2$ .

$\frac{2}{3}$

Étape 11

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{2}{3}$

Forme décimale :

$0.\overline{6}$