Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{t \to 0} \sin^{2} (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (\frac{t}{2})$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2}))}^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin^{2} (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\sin^{2} (\frac{1}{2} \cdot 0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{\sin^{2} (0)}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.2.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{t \to 0} \sin (t)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{t \to 0} \frac{\sin^{2} (\frac{t}{2})}{\sin (t)} = lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d t} [\sin^{2} (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{2}$ et $g (t) = \sin (\frac{t}{2})$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\sin (\frac{t}{2})]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \sin (t)$ et $g (t) = \frac{t}{2}$ .

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Étape 1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.3.2

La dérivée de $\sin (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\cos (u_{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $\frac{t}{2}$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) (\cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{t}{2}])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $\frac{t}{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t]$ .

$lim_{t \to 0} \frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d t} [t])}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.5

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2}{2} \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.6

Associez $\frac{2}{2}$ et $\sin (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2} \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.7

Associez $\frac{2 \sin (\frac{t}{2})}{2}$ et $\cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.8

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{t \to 0} \frac{\frac{2 \sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{2} \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.8.2

Divisez $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \frac{d}{d t} [t]}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2}) \cdot 1}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.10

Multipliez $\sin (\frac{t}{2})$ par $1$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.11

Réorganisez les facteurs de $\sin (\frac{t}{2}) \cos (\frac{t}{2})$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\frac{d}{d t} [\sin (t)]}$

Étape 1.3.12

La dérivée de $\sin (t)$ par rapport à $t$ est $\cos (t)$ .

$lim_{t \to 0} \frac{\cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{\cos (t)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{t \to 0} \cos (\frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{t \to 0} \frac{t}{2}) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot lim_{t \to 0} \sin (\frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (lim_{t \to 0} \frac{t}{2})}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.6

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{lim_{t \to 0} \cos (t)}$

Étape 2.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $t$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} lim_{t \to 0} t)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (lim_{t \to 0} t)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $t$ en insérant $0$ pour $t$ .

$\frac{\cos (\frac{1}{2} \cdot 0) \cdot \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{\cos (0) \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 \sin (\frac{1}{2} \cdot 0)}{\cos (0)}$

Étape 4.1.3

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $0$ .

$\frac{1 \sin (0)}{\cos (0)}$

Étape 4.1.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1 \cdot 0}{\cos (0)}$

Étape 4.1.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{\cos (0)}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 4.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$