Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {\tan (x)}^{\tan (2 x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (x)}^{\tan (2 x)}$ comme $e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (x)}^{\tan (2 x)})$ en déplaçant $\tan (2 x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ en insérant $(\frac{π}{4})$ pour $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par chaque élément de la matrice.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.4

Supprimez les parenthèses.

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Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.4.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.4.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 3.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{2})$ est $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Étape 3.5.1

Divisez $\frac{π}{2}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Étape 3.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.7.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 3.5.7.1.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 3.5.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.5.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 3.6

Comme $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $e^{\tan (2 x) \ln (\tan (x))}$ en insérant $(\frac{π}{4})$ pour $x$ .

$e^{\tan (2 (\frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.2

Multipliez $2$ par chaque élément de la matrice.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{4})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 (2)})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\tan ((2 \frac{π}{2 \cdot 2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\tan ((\frac{π}{2})) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.4

Supprimez les parenthèses.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 (2)}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.4.2

Annulez le facteur commun.

$e^{\tan (2 \frac{π}{2 \cdot 2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.4.3

Réécrivez l’expression.

$e^{\tan (\frac{π}{2}) \ln (\tan ((\frac{π}{4})))}$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{2})$ est $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0}$ .

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Étape 5.5.1

Divisez $\frac{π}{2}$ en deux angles où les valeurs des six fonctions trigonométriques sont connues.

$e^{\tan (\frac{π}{6} + \frac{π}{3}) \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.2

Appliquez l’identité de somme d’angles.

$e^{\frac{\tan (\frac{π}{6}) + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.3

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \tan (\frac{π}{3})}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.4

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \tan (\frac{π}{6}) \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.5

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{6})$ est $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \tan (\frac{π}{3})} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.6

La valeur exacte de $\tan (\frac{π}{3})$ est $\sqrt{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7

Simplifiez $\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}}$ .

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Étape 5.5.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.7.1.1

Multipliez $- \frac{\sqrt{3}}{3} \sqrt{3}$ .

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Étape 5.5.7.1.1.1

Associez $\sqrt{3}$ et $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{\sqrt{3} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.1.2

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.1.3

Élevez $\sqrt{3}$ à la puissance $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.1.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.1.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{\sqrt{3}}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2

Réécrivez ${\sqrt{3}}^{2}$ comme $3$ .

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Étape 5.5.7.1.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3}$ comme $3^{\frac{1}{2}}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.5.7.1.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{\frac{2}{2}}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3^{1}}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.2.5

Évaluez l’exposant.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.3

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.5.7.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - \frac{3}{3}} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1 \cdot 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{1 - 1} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.5.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$

Étape 5.6

Comme $e^{\frac{\frac{\sqrt{3}}{3} + \sqrt{3}}{0} \ln (\tan (\frac{π}{4}))}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$