Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)}$ comme $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$ .

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (4 x)})$ en déplaçant $\cot (4 x)$ hors du logarithme.

$lim_{x \to (\frac{π}{4})} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{-}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ en insérant $(\frac{π}{4})$ pour $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.2

Multipliez $4$ par chaque élément de la matrice.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.4

Réécrivez $\cot ((π))$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 3.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.6

Supprimez les parenthèses.

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Étape 3.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.8.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 3.9

Comme $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to {(\frac{π}{4})}^{+}} e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $e^{\cot (4 x) \ln (1 + \sin (4 x))}$ en insérant $(\frac{π}{4})$ pour $x$ .

$e^{\cot (4 (\frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.2

Multipliez $4$ par chaque élément de la matrice.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 5.3.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\cot ((4 \frac{π}{4})) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.3.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\cot ((π)) \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.4

Réécrivez $\cot ((π))$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{\frac{\cos ((π))}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.5

Supprimez les parenthèses.

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Étape 5.5.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\cos (4 \frac{π}{4})}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.5.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin ((π))} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.6

Supprimez les parenthèses.

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Étape 5.6.1

Annulez le facteur commun.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (4 \frac{π}{4})} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.6.2

Réécrivez l’expression.

$e^{\frac{\cos (π)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.7.1

$e^{\frac{- \cos (0)}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{\frac{- 1 \cdot 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.7.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$e^{\frac{- 1}{\sin (π)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.1

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$e^{\frac{- 1}{\sin (0)} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.8.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$

Étape 5.9

Comme $e^{\frac{- 1}{0} \ln (1 + \sin (4 (\frac{π}{4})))}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$